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Cónicas
son curvas planas obtenidas mediante la intersección de un cono con un plano. El ángulo que forman el plano y el eje del cono, comparado con el ángulo que forman el eje y la generatriz del cono determina las distintas clases de cónicas. En la escena siguiente se clarifica esta idea.
Tipos
En función de la relación existente entre el ángulo de conicidad (α) y la inclinación del planorespecto del eje del cono (β), pueden obtenerse diferentes secciones cónicas, a saber:
• β < α : Hipérbola (naranja)
• β = α : Parábola (azulado)
• β > α : Elipse (verde)
• β = 90º: Circunferencia (un caso particular de elipse) (rojo)
Si el plano pasa por el vértice del cono, se puede comprobar que:
• Cuando β > α la intersección es un único punto (el vértice).
•Cuando β = α la intersección es una recta generatriz del cono (el plano será tangente al cono).
• Cuando β < α la intersección vendrá dada por dos rectas que se cortan en el vértice.
• cuando β = 90º El ángulo formado por las rectas irá aumentando a medida β disminuye, hasta alcanzar el máximo (α) cuando el plano contenga al eje del cono (β = 0).


Foco y Directriz
Encuentren el foco y ladirectriz de la parábola dada por la ecuación [pic].
Recordemos la ecuación estándar de la parábola.
[pic]
Donde el foco está dado por las coordenadas [pic]
y la directriz por la ecuación [pic]
Igualando las ecuaciones encontramos que:
[pic]
[pic]
[pic]
Por lo tanto:
Las coordenadas del foco son [pic]
Y la ecuación de la directriz es [pic]
[pic]


Ecuación de la CircunferenciaSe llama circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro.
[pic]
[pic]
[pic]
Elevando al cuadrado obtenemos la ecuación:
[pic]
Si desarrollamos:
[pic]
Y realizamosestos cambios:
[pic]
Obtenemos otra forma de escribir la ecuación:
[pic]
Donde el centro es:
[pic]
Y el radio cumple la relación:
[pic]

Ecuación reducida de la circunferencia

Si el centro de la circunferencia coincide con el origen de coordenadas la ecuación queda reducida a:
[pic]

Escribir la ecuación de la circunferencia de centro (3, 4) y radio 2.
[pic]
[pic]
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Dadala circunferencia de ecuación x2 + y2 - 2x + 4y - 4 = 0, hallar el centro y el radio.
[pic]
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Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(2,0), B(2,3), C(1, 3).
Si sustituimos x e y en la ecuación [pic]por las coordenadas de los puntos se obtiene el sistema:
[pic]
[pic]
[pic]

Ecuación de la Hipérbola
Ecuaciones en coordenadas cartesianas: Ecuación de unahipérbola con centro en el origen de coordenadas [pic]y ecuación de la hipérbola en su forma canónica.
[pic]
Ecuación de una hipérbola con centro en el punto [pic]
[pic]










Ejemplos:
a)
[pic]
b)
[pic]
Si el semieje transverso a se encuentra en el eje x, y el semieje conjugado b, en el eje y, entonces la hipérbola es horizontal; si es al revés, esvertical. La excentricidad de una hipérbola siempre es mayor que uno.

Ecuación de la hipérbola en su forma compleja
Una hipérbola en el plano complejo es el lugar geométrico formado por un conjunto de puntos [pic], en el plano [pic]; tales que, cualesquiera de ellos satisface la condición geométrica de que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias [pic], a dos puntos fijos llamadosfocos[pic] y [pic], es una constante positiva igual al doble de la distancia (o sea [pic]) que existe entre su centro y cualesquiera de sus vértices del eje focal.
La ecuación queda: [pic]
Evidentemente esta operación se lleva a cabo en el conjunto de los números complejos.

Ecuación de la Elipse

Ecuación reducida de la elipse

Tomamos como centro de la elipse el centro de coordenadas y...