LA CIRCUNFERENCIA
Páginas: 8 (1896 palabras)
Publicado: 15 de octubre de 2015
LA CIRCUNFERENCIA
1. Se sientan las bases de la Geometría Analítica
Cónica es cada una de las curvas planas que se obtienen al cortar una superficie cónica por un plano que no pasa por su vértice.
El tipo de curva que se obtiene depende del ángulo a de la superficie cónica y del ángulo b que forma el plano con el eje e.
Si b > a entonces el plano corta a todas las generatrices de lasuperficie cónica y, por tanto, se obtiene una curva cerrada. Si b " a se obtiene una curva abierta. A continuación se exponen con más detalle los distintos casos que se pueden dar según los valores que tome b.
Si b = 90º la intersección del plano con la superficie cónica es una circunferencia.
Si b > a y b < 90º se obtiene una elipse tanto más alargada cuanto menor (más próximo a a) sea el ángulo b.Si b = a el plano es paralelo a una de la generatrices y se obtiene una curva abierta llamada parábola.
Si b < a entonces, tanto en los casos en que el plano corta al eje (0 < b < a) como cuando es paralelo a él (b = 0), se obtiene una curva con dos ramas abiertas llamada hipérbola.
La excentricidad de una cónica es un número que mide su alargamiento y que está relacionado con los ángulos a yb.
La excentricidad de la circunferencia es cero. Es decir, las circunferencias no son nada excéntricas. Las elipses son tanto más excéntricas cuanto más alargadas son: si una elipse es parecida a una circunferencia su excentricidad es próxima a cero, mientras que si es muy alargada, su excentricidad es próxima a uno.
Todas las parábolas tienen excentricidad uno. Las hipérbolas tienen unaexcentricidad mayor que uno.
2. Las cónicas como lugares geométricos
Salvo la circunferencia, las restantes cónicas se pueden definir como lugares geométricos a partir de un punto fijo F, llamado foco, una recta fija, “d”, llamada directriz, y su excentricidad, e > 0, del siguiente modo:
El lugar geométrico de los puntos P del plano tales que el cociente de sus distancias a F y a d es igual a e (distPF/dist Pd = e), es una cónica de excentricidad e.
3. Expresión analítica de las cónicas
Desde un punto de vista analítico se puede definir cónica como la curva que responde a una ecuación del tipo:
Ax2 + By2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0
Los valores que toman A, B, C, D, E y F, determinan el tipo de la cónica y su posición en el plano. Permitiendo que dichoscoeficientes tomen valores cualesquiera, además de los cuatro tipos de cónicas, se obtienen cónicas degeneradas e incluso cónicas imaginarias.
ELIPSE:
Es una de las cónicas. Se trata de una curva cerrada que se obtiene al cortar una superficie cónica de eje e y ángulo a mediante un plano, que no pasa por el vértice y que corta a e bajo un ángulo b mayor que a, pero menor de 90º (a < b < 90º).
Si a espróximo a cero se obtiene una elipse poco excéntrica. Si a es próximo a uno se obtiene una elipse muy excéntrica. La elipse puede definirse como lugar geométrico del siguiente modo: dados dos puntos fijos, F y F', llamados focos, y un número fijo k,
La elipse es el lugar geométrico de los puntos, P, del plano cuya suma de distancias a F y F' es igual a k:d1 + d2 = k.
Esta forma de definir una elipse permite dibujarla mediante el llamado “método del jardinero”: se colocan dos alfileres en la posición de los focos y se ata a ambos un hilo cuya longitud sea igual a k. Con un lápiz situado de modo que mantenga tenso el hilo, se recorre la elipse.
Además de los focos F y F´, en una elipse destacan los siguientes elementos:
Centro, O.
Ejemayor, AA´.
Eje menor, BB´.
Distancia focal, OF.
Algunas distancias características de la elipse se suelen designar con las letras siguientes:
. El eje mayor mide 2a.
El eje menor mide 2b.
La distancia entre focos es 2c.
Por ser rectángulo el triángulo OBF, se cumple la siguiente relación:
a2 = b2 + c2
La excentricidad de una elipse se...
1. Se sientan las bases de la Geometría Analítica
Cónica es cada una de las curvas planas que se obtienen al cortar una superficie cónica por un plano que no pasa por su vértice.
El tipo de curva que se obtiene depende del ángulo a de la superficie cónica y del ángulo b que forma el plano con el eje e.
Si b > a entonces el plano corta a todas las generatrices de lasuperficie cónica y, por tanto, se obtiene una curva cerrada. Si b " a se obtiene una curva abierta. A continuación se exponen con más detalle los distintos casos que se pueden dar según los valores que tome b.
Si b = 90º la intersección del plano con la superficie cónica es una circunferencia.
Si b > a y b < 90º se obtiene una elipse tanto más alargada cuanto menor (más próximo a a) sea el ángulo b.Si b = a el plano es paralelo a una de la generatrices y se obtiene una curva abierta llamada parábola.
Si b < a entonces, tanto en los casos en que el plano corta al eje (0 < b < a) como cuando es paralelo a él (b = 0), se obtiene una curva con dos ramas abiertas llamada hipérbola.
La excentricidad de una cónica es un número que mide su alargamiento y que está relacionado con los ángulos a yb.
La excentricidad de la circunferencia es cero. Es decir, las circunferencias no son nada excéntricas. Las elipses son tanto más excéntricas cuanto más alargadas son: si una elipse es parecida a una circunferencia su excentricidad es próxima a cero, mientras que si es muy alargada, su excentricidad es próxima a uno.
Todas las parábolas tienen excentricidad uno. Las hipérbolas tienen unaexcentricidad mayor que uno.
2. Las cónicas como lugares geométricos
Salvo la circunferencia, las restantes cónicas se pueden definir como lugares geométricos a partir de un punto fijo F, llamado foco, una recta fija, “d”, llamada directriz, y su excentricidad, e > 0, del siguiente modo:
El lugar geométrico de los puntos P del plano tales que el cociente de sus distancias a F y a d es igual a e (distPF/dist Pd = e), es una cónica de excentricidad e.
3. Expresión analítica de las cónicas
Desde un punto de vista analítico se puede definir cónica como la curva que responde a una ecuación del tipo:
Ax2 + By2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0
Los valores que toman A, B, C, D, E y F, determinan el tipo de la cónica y su posición en el plano. Permitiendo que dichoscoeficientes tomen valores cualesquiera, además de los cuatro tipos de cónicas, se obtienen cónicas degeneradas e incluso cónicas imaginarias.
ELIPSE:
Es una de las cónicas. Se trata de una curva cerrada que se obtiene al cortar una superficie cónica de eje e y ángulo a mediante un plano, que no pasa por el vértice y que corta a e bajo un ángulo b mayor que a, pero menor de 90º (a < b < 90º).
Si a espróximo a cero se obtiene una elipse poco excéntrica. Si a es próximo a uno se obtiene una elipse muy excéntrica. La elipse puede definirse como lugar geométrico del siguiente modo: dados dos puntos fijos, F y F', llamados focos, y un número fijo k,
La elipse es el lugar geométrico de los puntos, P, del plano cuya suma de distancias a F y F' es igual a k:d1 + d2 = k.
Esta forma de definir una elipse permite dibujarla mediante el llamado “método del jardinero”: se colocan dos alfileres en la posición de los focos y se ata a ambos un hilo cuya longitud sea igual a k. Con un lápiz situado de modo que mantenga tenso el hilo, se recorre la elipse.
Además de los focos F y F´, en una elipse destacan los siguientes elementos:
Centro, O.
Ejemayor, AA´.
Eje menor, BB´.
Distancia focal, OF.
Algunas distancias características de la elipse se suelen designar con las letras siguientes:
. El eje mayor mide 2a.
El eje menor mide 2b.
La distancia entre focos es 2c.
Por ser rectángulo el triángulo OBF, se cumple la siguiente relación:
a2 = b2 + c2
La excentricidad de una elipse se...
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