La Familia

CHAPITRE

1
Exercice 1

Langage de la continuité. Limites
Prérequis testés Réponses b)
1 –1 1 O 1 O –1 1

1 Les prérequis : « Vérifier les acquis » (page 8)

Connaître les courbes représentatives des a) fonctions de référence étudiées en Seconde et en Première.

c)
1

d)
1 1 O 1

2

• Savoir localiser l’abscisse (ou les abscisses) d’un point (de points) sur une courbe dont on connaît l’image. •Par lecture graphique, savoir localiser les solutions d’une inéquation.

a) x = – 3 ou x ≈ – 1,8 ou x = 4 b) x ≈ – 3,6 ou x = – 1 ou x = 3 c) x ∈ [ – 4 ; x 0 ] ∪ [ – 1 ; 3 ] avec x 0 ≈ – 3,6 d) x ∈ ] – 4 ; 1 [ ∪ ] 1 ; 4 ]

3

Distinguer la notion de croissance de la a) Oui notion de stricte croissance. b) Non Écrire l’expression d’une fonction définie u est la fonction f suivie de g. comme composéede deux fonctions. Pour tout réel x, u ( x ) = 2x 2 + 1 Créer un enchaînement de fonction de réfé- f est la fonction v suivie de u. rence pour passer de x à f (x).

4

5

2 Objectifs
• Comprendre la notion de continuité d’une fonction sur un intervalle, à partir de graphiques, de façon intuitive. • Étudier un exemple de fonction non continue sur la fonction partie entière. :

3 Activités d’approche(page 10)
3.1 Fonctions définies par morceaux
1. a) Poids jusqu’à… 20 g 50 g 100 g 250 g b) f ( x ) f (x) = f (x) = f (x) = 2. a) = 0,48 pour x ∈ ]0 ; 20 ] 0,64 pour x ∈ ]20 ; 50 ] 0,77 pour x ∈ ]50 ; 100 ] 1,45 pour x ∈ ]100 ; 250 ] Prix 2,0 € 1,5 € 1,0 € Tarifs nets 0,48 € 0,64 € 0,77 € 1,45 €

• Donner le nombre de solutions de l’équation f ( x ) = k , lorsque f est continue sur un intervalle ;à l’aide de la calculatrice graphique, localiser ces solutions. • Connaître les limites de fonctions usuelles, les définitions d’asymptotes à une courbe. • Connaître les théorèmes relatifs à la limite d’une somme, d’un produit. • Connaître la limite d’une fonction composée. • Étudier la limite en + ∞ ou – ∞ d’une fonction polynôme ou d’une fonction rationnelle en utilisant la règle opératoire surles termes de plus haut degré. • Étudier une limite par comparaison à d’autres fonctions. • Donner des interprétations économiques de limites.
■4

Nombre d’objets achetés du du 1er 21e au au 20e 50e

du 51e au 100e

b) 135

3.4 Composition de fonctions et limites
On note f la fonction u suivie . a) u ( 1 ) = 0 et
x→+∞

( 0 ) = 0,5 donc f ( 1 ) = 0,5 .
X→–∞

b) lim u ( x ) = – ∞ ,
x→0

lim

(X) =0

lim u ( x ) = + ∞ ,
x→+∞

X→+∞

lim

(X) = 1

85

c)

lim f ( x ) = 0 et lim f ( x ) = 1
x→0

4 Travaux dirigés (page 20)
4.1 Barème de paiement de l’impôt sur le revenu
40

A. Notions utilisées
• Application pratique de la notion de fonction continue sur un intervalle. • Comprendre la notion de tranche d’imposition. • Apprendre à calculer et à interpréter.

10 O 10 20 50 100

Nombre d’objetsB. Corrigé
a) Taux d’imposition (en %) 40

3.2 Localiser les solutions d’une équation
1. Graphique 1 : a) Oui. b) L’équation f ( x ) = 2 admet une solution. L’équation f ( x ) = 0 n’admet pas de solution. c) Oui ; oui. Graphique 2 : a) Oui. b) L’équation f ( x ) = 2 admet deux solutions. L’équation f ( x ) = 0 admet deux solutions. c) Oui ; non. Graphique 3 : a) Non. b) L’équation f ( x ) = 2n’admet pas de solution. L’équation f ( x ) = 0 admet une solution. c) Non ; non. 2. a) f est continue sur [ 0 ; 3 ] . b) f est continue et strictement monotone sur [ 0 ; 3 ] .

30

14 10 5,5 11 000 24 432

3.3 Limites et calculatrice graphique
1. a)

Revenu net (en euros)

b) Lorsque x devient très grand, f ( x ) se rapproche de 1, g ( x ) devient très grand et h ( x ) devient très petit. • lim g ( x )= + ∞ • lim h ( x ) = – ∞ • lim f ( x ) = 1
x→+∞ x→+∞ x→+∞

2.

b)

c)

a)

O 5 515 20 000 65 500 b) La fonction représentée n’est pas continue sur ] 0 ; + ∞ [ . 0 5,5 14 c) 5 515 × -------- + 5 485 × -------- + 9 000 × -------- ≈ 1 561,68 . 100 100 100 Une personne gagnant 20 000 euros annuels devra s’acquitter de 1 561,67 € d’impôts. d) Puisque 50 000 et 50 500 sont dans la tranche ] 24 432...