La geometría de las esferas

La Geometría de las Esferas
por
Fernando Etayo Gordejuela, Universidad de Cantabria

Introducción
Queremos realizar una exposición divulgativa sobre algunos de los aspectos
esenciales de la geometría de las esferas. En este sentido, apartaremos del núcleo
del texto las definiciones rigurosas, que serán indicadas como notas a pie de página.
También eliminaremos las constantes citasbibliográficas, incluyendo al final un
listado por temas.
Estudiaremos la esfera S n−1 = {x2 + · · · + x2 = 1} ⊂ Rn . Aparentemente
1
n
nada hay tan simple como la esfera unidad en el espacio euclídeo. Más aún, parece
que todas las esferas deben tener las mismas propiedades, independientemente de
su dimensión, pues todas son igual de redondas. Lo que queremos mostrar es que
existen muchas diferenciasentre las esferas de distintas dimensiones. Más aún, la
moraleja de todo lo que sigue es la siguiente:
Las propiedades geom´tricas de la esfera S n−1 dependen esene
cialmente de las propiedades algebraicas del espacio Rn .
Aún así, existen muchas propiedades comunes a todas las esferas. La más célebre, la desigualdad isoperim´trica: Las esferas son las hipersuperficies cerradas
e
(de volumenlateral fijo) que encierran mayor volumen (Steiner, 1842). Sin em65

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4. La Geometría de las Esferas

bargo, en esta exposición vamos a centrarnos en las diferencias, en vez de en las
propiedades comunes.
Esferas y cubos. Vamos a compararlos. Empleamos las siguientes notaciones:
• Cubo de dimensión n es I n ⊂ Rn , I = [0, 1].
• Diámetro es el supremo de las distancias entre puntos dela figura.
• Volumen es el volumen que encierran.
• Volumen lateral es el volumen (de una dimensión menor) de su borde.
Podemos realizar los cálculos correspondientes a los cubos de distintas dimensiones, obteniendo:
Cubo
Di´metro Volumen Volumen Lateral
a
I⊂R
1
1
0
√
2
2
I ⊂R
1
4
√2
3
3
I ⊂R
1
6
√3
4
4
I ⊂R
1
8
√4
I 5 ⊂ R5 √5
1
10
6
6
I ⊂R
6
1
12
√
n
n
I⊂R
n
1
2n
• El diámetro de los cubos es creciente. Esto significa que podemos meter una
barra de un kilómetro de longitud en un cubo de arista un centímetro, con tal de que
n sea suficientemente grande.
• Los volúmenes de los cubos son siempre 1 si el cubo es de arista 1. Si es de
arista r el volumen es rn, que tiende a infinito si r > 1 y que tiende a cero si r < 1.
Respecto de los volúmenesde las esferas se tiene (se llama doble factorial a
n!! = n(n − 2)(n − 4)...):
Esfera S n−1 ⊂ Rn
S 1 ⊂ R2
S 2 ⊂ R3
S 3 ⊂ R4
S 4 ⊂ R5
S 5 ⊂ R6
S 6 ⊂ R7
n = 2k
n = 2k + 1

Volumen
πr2
4/3πr3
1/2πr4
8/15π 2 r5
1/16π 3 r6
16/105π 3 r7
(1/k)!π k r2k
(2/n!!)(2π)(k/2) r2k+1

Radio=1
3,1415
4,1887
4,9348
5,2637
5,1677
4,7247

Volumen Lateral
2πr
4πr2
2π 2 r3
8/3π 2 r4
π3 r5
16/15π 3 r6
volumen lateral(S n )=
(n+1/r)volumen(S n )

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Veamos algunas consecuencias:
• El volumen de las esferas tiende siempre a cero, cuando n tiende a infinito,
independientemente de cuál sea el radio r.
• Para radio uno, la esfera más grande es S 4 .
Estas observaciones son suficientes para hacernos pensar que cuando aumentamos las dimensiones las propiedades geométricasescapan a nuestra intuici´n.
o

Esferas pares e impares
El hecho de que se puedan identificar los espacios R2n y Cn trae como consecuencia que las esferas de dimensión impar tienen una geometría mucho más rica
que las de dimensión par. Para precisar en qué sentido una geometría es más rica
que otra debemos introducir primero una serie de conceptos1 . Aunque de entrada
pueden resultar demasiadotécnicos, más adelante veremos su sentido geométrico.
• En variedades de dimensión par se define una estructura casi-compleja como
una aplicación J (diferenciable) que a cada vector tangente le asocia otro vector
tangente de modo que J ◦ J = J 2 = −id. Las variedades kählerianas son las más
ricas de entre éstas. En particular, R2n = Cn es kähleriana.
• En variedades de dimensión impar se...