La Integral De Riemann y El Teorema Del Valor Medio
Páginas: 11 (2735 palabras)
Publicado: 24 de julio de 2011
15 de julio de 2011
La Integral de Riemann y
Teorema del Valor Medio
Definiciones equivalentes
Existen definiciones que son equivalentes a la definición de integral de Riemann. Son equivalentes en el sentido de que podemos demostrar que una función es integrable respecto a una cierta definición si y sólo si es integrable con respecto a otra definición. Una muy utilizada es la integralde Darboux que se auxilia de los supremos e ínfimos de los intervalos en los cuales se particiona. Una segunda, que es la que de hecho se utiliza para definir la integral de Riemann-Stieltjes, con los ajustes necesarios (y no la definición que se encuentra arriba, porque cuando se extiende a ser de Riemann-Stieltjes no cumple con todo lo que nos gustaría que se pudiera derivar de dicha definición,de hecho esta integral se conoce como (*)-integral) es la siguiente:
Una función f acotada definida en un intervalo [a, b] se dice que es Riemann integrable en [a, b] si existe un número I tal que, para todo número real positivo ε existe una partición Pε de [a, b] tal que si P es un refinamiento de Pε (es decir P contiene a Pε) y S(P,f) es cualquier suma de Riemann entonces |S(P, f) - I| < ε.De manera intuitiva, la diferencia entre la definición de la integral de Riemann y esta última definición, es que la primera hace uso del concepto de la norma de la partición menor que un cierto delta para obtener mejores aproximaciones, en la segunda por contraste nos olvidamos de la norma de la partición y en vez de eso ampliamos las particiones, es decir les añadimos puntos, para obtenermejores aproximaciones. Esta diferencia es muy importante para el concepto de la integral de Riemann-Stieltjes, porque en la segunda definición nosotros podemos decir específicamente qué puntos queremos incluir en la partición, en contraste a la primera, en la que estamos atados a una cierta norma, que aunque se cumpla que la norma sea menor que un cierto delta, puede ser que la partición no incluyapuntos que queremos que incluya en específico (que en el caso de la integral de Riemann no nos importa, pero cuando utilizamos la integral de Riemann-Stieltjes, hay puntos que son críticos para que se cumplan ciertas propiedades).
Vamos a dar una definición precisa de la integral de una función definida en un intervalo. Este tiene que ser un intervalo cerrado y acotado, es decir [a,b] con a <b ! R, y la definición que daremos de integral solo se aplica a funciones acotadas, y no a todas, sino a las funciones que llamaremos integrables.
En el siguiente capítulo veremos cómo, en un sentido más amplio, podemos hablar de integrales de funciones no acotadas o definidas en intervalos no acotados.
La Integral de Riemann
En este tema se introduce el Calculo Integral que además depermitir calcular longitudes, áreas y volúmenes, tiene múltiples aplicaciones en la Ciencias, Ingeniería, etc.
En primer lugar, consideramos una función f : [a, b] −→ R tal que f(x) ≥ 0 ∀x ∈ [a, b] y pretendemos calcular el área´ delimitada por la grafica de f, las rectas x = a, x = b y el eje OX.
En primer lugar introducimos el concepto de partición de un intervalo.
Definición. Dado unintervalo [a, b], una partición de [a, b] es un conjunto finito
P = {x0, x1, . . . , xn} tal que a = x0 < x1 < . . . < xn−1 < xn = b.
A los intervalos [xi, xi+1], i = 0, 1, . . . n − 1 se les llama intervalos de la partición P. Se define diámetro de la partición P a δ(P) = max{|xi+1 − xi|, i = 0, 1, . . . , n − 1}. Dadas dos particiones P, P0 de [a, b], diremos que P0es más fina que P si P ⊆ P0 .
Claramente en ese caso δ(P0 ) ≤ δ(P).
Introducimos la suma superior y la suma inferior de Riemann de una función asociada a un partición.
Definición. Sea f : [a, b] −→ R y P = {x0, x1, . . . , xn} una partición de [a, b]. Se define la suma inferior de Riemann de f para la partición P como:
nX−1
s(P, f, [a, b]) = mi(xi+1−xi)...
La Integral de Riemann y
Teorema del Valor Medio
Definiciones equivalentes
Existen definiciones que son equivalentes a la definición de integral de Riemann. Son equivalentes en el sentido de que podemos demostrar que una función es integrable respecto a una cierta definición si y sólo si es integrable con respecto a otra definición. Una muy utilizada es la integralde Darboux que se auxilia de los supremos e ínfimos de los intervalos en los cuales se particiona. Una segunda, que es la que de hecho se utiliza para definir la integral de Riemann-Stieltjes, con los ajustes necesarios (y no la definición que se encuentra arriba, porque cuando se extiende a ser de Riemann-Stieltjes no cumple con todo lo que nos gustaría que se pudiera derivar de dicha definición,de hecho esta integral se conoce como (*)-integral) es la siguiente:
Una función f acotada definida en un intervalo [a, b] se dice que es Riemann integrable en [a, b] si existe un número I tal que, para todo número real positivo ε existe una partición Pε de [a, b] tal que si P es un refinamiento de Pε (es decir P contiene a Pε) y S(P,f) es cualquier suma de Riemann entonces |S(P, f) - I| < ε.De manera intuitiva, la diferencia entre la definición de la integral de Riemann y esta última definición, es que la primera hace uso del concepto de la norma de la partición menor que un cierto delta para obtener mejores aproximaciones, en la segunda por contraste nos olvidamos de la norma de la partición y en vez de eso ampliamos las particiones, es decir les añadimos puntos, para obtenermejores aproximaciones. Esta diferencia es muy importante para el concepto de la integral de Riemann-Stieltjes, porque en la segunda definición nosotros podemos decir específicamente qué puntos queremos incluir en la partición, en contraste a la primera, en la que estamos atados a una cierta norma, que aunque se cumpla que la norma sea menor que un cierto delta, puede ser que la partición no incluyapuntos que queremos que incluya en específico (que en el caso de la integral de Riemann no nos importa, pero cuando utilizamos la integral de Riemann-Stieltjes, hay puntos que son críticos para que se cumplan ciertas propiedades).
Vamos a dar una definición precisa de la integral de una función definida en un intervalo. Este tiene que ser un intervalo cerrado y acotado, es decir [a,b] con a <b ! R, y la definición que daremos de integral solo se aplica a funciones acotadas, y no a todas, sino a las funciones que llamaremos integrables.
En el siguiente capítulo veremos cómo, en un sentido más amplio, podemos hablar de integrales de funciones no acotadas o definidas en intervalos no acotados.
La Integral de Riemann
En este tema se introduce el Calculo Integral que además depermitir calcular longitudes, áreas y volúmenes, tiene múltiples aplicaciones en la Ciencias, Ingeniería, etc.
En primer lugar, consideramos una función f : [a, b] −→ R tal que f(x) ≥ 0 ∀x ∈ [a, b] y pretendemos calcular el área´ delimitada por la grafica de f, las rectas x = a, x = b y el eje OX.
En primer lugar introducimos el concepto de partición de un intervalo.
Definición. Dado unintervalo [a, b], una partición de [a, b] es un conjunto finito
P = {x0, x1, . . . , xn} tal que a = x0 < x1 < . . . < xn−1 < xn = b.
A los intervalos [xi, xi+1], i = 0, 1, . . . n − 1 se les llama intervalos de la partición P. Se define diámetro de la partición P a δ(P) = max{|xi+1 − xi|, i = 0, 1, . . . , n − 1}. Dadas dos particiones P, P0 de [a, b], diremos que P0es más fina que P si P ⊆ P0 .
Claramente en ese caso δ(P0 ) ≤ δ(P).
Introducimos la suma superior y la suma inferior de Riemann de una función asociada a un partición.
Definición. Sea f : [a, b] −→ R y P = {x0, x1, . . . , xn} una partición de [a, b]. Se define la suma inferior de Riemann de f para la partición P como:
nX−1
s(P, f, [a, b]) = mi(xi+1−xi)...
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