teorema del valor medio

TEOREMA DEL VALOR MEDIO
En cálculo diferencial, el teorema de valor medio (de Lagrange) teorema de los incrementos finitos', teorema de Bonnet-Lagrange o teoría del punto medio es una propiedad delas funciones derivables en un intervalo. Algunos matemáticos consinte que une los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)). Es decir:

Este teorema lo formuló Lagrange.
El teorema del valor medio de Lagrangede hecho es una generalización del teorema de Rolle que dice que si una función es definida y continua [ a , b ], diferenciable en el intervalo abierto ( a , b ) , y toma valores iguales en losextremos del intervalo --en otras palabras, f ( a ) = f ( b )-- entonces existe al menos algún punto c en el intervalo ( a , b ) tal que la tangente a la curva en c es horizontal, es decir f '( c)=0.Demostración
El conocimiento del significado de la derivada de una función en un punto, y de la ecuación punto-pendiente de una recta, permiten deducir que la ecuación de la recta tangente en un punto dela curva es:

Donde los pares de puntos (a, f(a)) y (b, f (b)) son una pareja cualquiera de puntos de la curva. Vamos a demostrar que, una vez conocida una pareja de puntos de una curva continua yderivable, existe un punto c contenido en el intervalo (a, b) tal que la pendiente en dicho punto es paralela a la recta que une los puntos (a, f(a)) y (b, f (b)). Definimos una función:

Puesto quef es continua en [a, b] y diferenciable en (a, b), lo mismo se puede decir de g. Además g satisface las condiciones del Teorema de Rolle ya que:

Por el Teorema de Rolle, como g es derivable en (a,b) y g(a)=g (b), existe un c perteneciente (a, b) tal que g '(c) = 0, y por tanto:

Y así

Como queríamos demostrar.
TEOREMA DE ROLLE
El teorema de Rolle dice lo siguiente:
es una funcióncontinua definida en un intervalo cerrado
es derivable sobre el intervalo abierto

Entonces: existe al menos un número perteneciente al intervalo tal que.

En palabras más sencillas, si una curva...