la integral

1

6.1 Integral Indefinida
• La antiderivada, integral indefinida o primitiva de una función f(x) es
otra función F(x) cuya derivada es igual a f(x) y cuya diferencial es
f(x)dx, es decir:

F ′( x ) = f ( x ) y dF ( x ) = f ( x )dx

Ejemplos:
1.

* En otras palabras es pensar
en funciones en donde su
derivada es la función dada.

Determinar la antiderivada de las funcionessiguientes:

a) f ( x) = 2 x

b) f ( x ) = cos x

2

c) f ( x) = 1

d ) f ( x ) = sec 2 x

3

• Definición: Al conjunto de todas las funciones primitivas de una
función f(x) se le llama integral indefinida de f(x)dx.
• Para representar la integral indefinida se usa el signo ∫ que tiene su
origen en la inicial de la palabra suma.
• Luego entonces, la integral indefinida de f(x)dx serepresenta así:

∫ f ( x )dx =F ( x ) + c
• Donde la expresión f(x) se le llama integrando y a la constante C
constante de integración.

• NOTA: dx es sólo un símbolo que indica con respecto a que variable se
va a integrar.
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• Propiedades de linealidad
• La integral de una suma de un número h de funciones es igual a la
suma de las integrales:

∫ [ f ( x) + g ( x)]dx =∫ f ( x)dx + ∫g ( x)dx
• La integral del producto de una constante por una función es igual a la
constante por la integral de la función:

∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx

k = cte

• NOTA: No hay fórmulas directas para integrar multiplicaciones o
divisiones.

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• Fórmulas de integración e integrales inmediatas
∫ (du + dv − dz ) = ∫ du + ∫ dv − ∫ dz
2) ∫ k du = k ∫ du = ku + c
3) ∫ dx = x + c
4) ∫du = u + c
(u es una función de x)

1)

5)
5)
6)
7)
7)
8)
9)

x m+1
+c
m +1
u n +1
+c
u n du =
∫
n +1
du
∫2 u = u +c
dx
∫ x = ln x + c
du
∫ u = ln u + c
au
a u du =
+c
∫
ln a
e mx
mx
∫ e dx = m + c
m
∫ x dx =

∫ e du = e + c
10) ∫ sen u du = − cos u + c
11) ∫ cos u du = sen u + c
9)

u

m ≠ −1
n ≠ −1

∫ sec u du = tan u + c
13) ∫ csc u du = − cot u+ c
14) ∫ sec u tan u du = sec u + c
15) ∫ csc u cot u du = − csc u + c
16) ∫ tan u du = − ln cos u + c = ln sec u + c
17) ∫ cot u du = ln sen u + c
18) ∫ sec u du = ln(sec u + tan u ) + c
19) ∫ csc u du = ln (csc u − cot u ) + c
2

12)

2

du

20)

∫ 1+ u

21)

∫ − 1+ u

22)

∫u

23)

∫− u

2

= arctan u + c

du

2

=arc cot u + c

du
u2 − 1
du

=arcsec u + c

u2 − 1

=arc csc u + c

u

Integración por partes :

∫ u dv = uv − ∫ v du
2) ∫ ln x = ( x ln x ) − x

1)

6

Ejemplos:
1.

Obtén las siguientes integrales utilizando las fórmulas de integración
inmediata:

a ) ∫ 6 x 5dx =

7

 7 2
5 
b) ∫  − x − 3 x  dx =
 3


8

[

]

c) ∫ ( x + 1) ⋅ (x 2 + 2) dx =

9

 x−x +x
d) ∫

x

5− 12


 dx =



10

e) ∫ (x − 1) dx =
2

2

11

f ) ∫ (tan 2 x + e x ) dx =

12

 sec x 
g) ∫ 
dx =
 csc x 

13

6.2 Integral Definida
• Arquímedes calculó el área de un círculo por medio de
aproximaciones sucesivas, inscribió rectángulos dentro del círculo,
calculó el área de cada rectángulo y sumó todas éstas. Después
construyó rectángulos más estrechosde modo que la suma de las
áreas de los rectángulos se aproximaba cada vez más al área del
círculo.
• Sea A el área de una región limitada por el eje x y la gráfica de una
función no negativa y=f(x), la cual está definida en un cierto intervalo
cerrado [a,b], como se observa en la siguiente figura.
Y
y=f(x)

A = área
a

b

X
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• El cálculo del área A se lleva a cabo dividiendodicha área en un
determinado número de rectángulos, es decir, en n rectángulos sobre
el intervalo [a,b].
Y
y=f(x)

a

b

X

• La gráfica representa las áreas de los rectángulos, la cual es una
aproximación al área real. Generalmente dichas áreas se representan
en unidades cuadradas u².
• La suma de todas las áreas de los rectángulos son una aproximación al
área bajo la curva,...