la parabola

 LA PARÁBOLA


Definiciones 
i.    Sea DD una recta dada del plano y F un punto del plano que no está en la recta dada. Se define la parábola como el lugar geométrico de los puntos P del planocuya distancia al punto F es igual a la distancia a la recta DD.  
ii. La recta dada DD se llama DIRECTRIZ y el punto F se llama FOCO (fig. 1.) Frecuentemente se hace referencia a la parábola dedirectriz DD y de foco F y se denota por PDD-F.  
Esto es:  
PDD-F={P:PFF=PD}={P:PF = 1} 
                                PD
 
 

fig. 1.
Observaciones:
 i. Al trazar por F laperpendicular  a la directriz. Se llamará : la distancia del foco a la directriz. 
ii. Sea V el punto medio del segmento  . Como , entonces el punto V pertenece a la parábola. V es llamado VERTICE de laparábola. 
El lugar correspondiente a la parábola es simétrico respecto a la recta . En efecto, si P’ es el simétrico de P respecto a la recta , entonces PP’’ = P’’P’. Por lo tanto, el triángulo PP’’F escongruente al triángulo P’P’’F. De donde P’F = PF y como P’D’ = PD, entonces, , lo cual nos muestra que P’ e PDD-F. 
 
 
Ecuaciones Analíticas de la Parábola  
En esta sección sólo se consideraránparábolas con el vértice V en el origen de coordenadas y cuyos focos estarán localizados sobre los ejes x ó y (fig. 2.) 


fig. 2.
Sea P(x, y) un punto de la parábola PDD-F (fig 6.1.2 b)entonces,.  
Pero,  y  
Luego,  
Elevando al cuadrado ambos miembros de la última igualdad, y desarrollando los binomios, se obtiene: , y simplificando queda finalmente,  
(1) 
Recíprocamente, seaP(x, y) un punto del plano, cuyas coordenadas (x, y) satisfacen (1) y pruebe que P e PDD-F.  
Por hipótesis,  (2)  
Se debe probar que  
 
 
 
 
 
De esta forma se ha demostrado laparte i del siguiente teorema.  
 
TEOREMA 1 (Ecuaciones de la Parábola)  
i.  La ecuación de la parábola que tiene su foco en F(p/2, 0) y por directriz la recta x = -p/2 (fig. 6.1.4) viene...