la primera pregunta importante

La primera pregunta importante que surge a partir de la definición de ideal de un conjunto de puntos de  es la siguiente: ¿Para cada ideal  de  existe  tal que  ? La respuesta, como lo muestra elsiguiente ejemplo, es negativa. 
Ejemplo: Consideremos el ideal  . Supongamos que existe  no vacío tal que  . Sea  . Como  entonces  , por tanto  . Así que  , pero  . La conclusión es que  no es elideal de ningún conjunto de puntos. 
Mencionaremos entonces una propiedad importante que satisfacen los ideales que son ideales de un conjunto de puntos en  : Sea  ,   . Supongamos que para algúnentero  y sea  entonces  , como  no tiene divisores de cero entonces  así que  .
Definición 13   Sea  un ideal de un anillo  . Definimos el radical de I como  . Un ideal  se llama radical si  .
Hemosprobado entonces la siguiente
Proposición 1    es un ideal radical para todo  . De manera equivalente, si  no es un ideal radical entonces no existe ningún subconjunto  tal que  .
Veremos que siel campo en el que estamos trabajando es algebraicamente cerrado, entonces todo ideal radical es el ideal de un conjunto de puntos en el espacio afín.
Teorema de la Base de Hilbert
El Teorema de laBase de Hilbert data de finales del siglo XIX, es un teorema básico en la geometría algebraica porque nos dice, entre otras cosas, que todo conjunto algebraico está definido por un conjunto finito depolinomios. 
Definición 14   Un anillo  se dice Noetheriano si todos sus ideales son finitamente generados.
Teorema 3   (Teorema de la Base de Hilbert) Si  es un anillo Noetheriano entonces  es unanillo Noetheriano.

Corolario 1   Todo conjunto algebraico en  está definido por un conjunto finito de polinomios.
Demostración. Consideremos el conjunto algebraico  para algún ideal  . Como elcampo  es Noetheriano (pues sus únicos ideales son  y  ) entonces  es Noetheriano así que  , entonces  . 
Corolario 2   Todo conjunto algebraico en  es la intersección de un número finito de...