la transformada de radon

La transformada de Radon y su aplicación en la
Tomografía Axial Computarizada
Jesús García

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Índice general

1. Mal planteamiento de la transformada de Radon

1.1. El problema inverso de la Tomografía Axial Computarizada . . .

2. La transformada de Radon

2.1. Diferentes formas de la denición de la transformada de Radon
en dos y tres dimensiones . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .
2.1.1. Dos Dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2. Tres dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Ejemplos importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Propiedades básicas de la Transformada de Radon . . . . . . . .
2.3.1. Linealidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2. Homogeneidad . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3. Traslación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.4. Transformada de Radon de una Transformación Lineal . .
2.3.5. Transformada de Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.6. Derivada de la transformada de Radon . . . . . . . . . . .

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3. Relación entre lastransformadas de Radon y de Fourier

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4. Métodos de Inversión Recientes

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3.1. Transformada directa e inversa de Fourier . . . . . . . . . . . . .
3.2. Relacion entre las transformadas de Radon y de Fourier . . . . .
3.3. Transformada inversa de Radon . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1. Retroproyección ltrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Método directode Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Tomografía Axial Computarizada
5.1.
5.2.
5.3.
5.4.
5.5.
5.6.
5.7.

Generacion de sistemas tomográcos . . .
Adquisición de datos a partir de integrales
Reconstrucción de imagenes . . . . . . . .
Algoritmo de retroproyección ltrada . . .
Reconstrucción de geometría en abanico .
Otros tipos de reconstrucción . . . . . . .Estudios actuales . . . . . . . . . . . . . .
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. . . . .
de linea
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ÍNDICE GENERAL

6.Conclusiones

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7. Apendice A:Conceptos Básicos

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7.1. Funciones Generalizadas o Distribuciones . . . . . . . . . . . . .
7.1.1. La distribución Delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.2. Derivadas de Distribuciones . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Introducción

La Tomografía Axial Computarizada (TAC), nace como un diagnóstico en
medicina mediantevisualización por rayos X. Los métodos matemáticos en los
cuales se basa la TAC fueron desarrollados por A.M. Cormack en 1962 ([?]). El
fundamento de la tomografía es la adquisición de una imagen por rayos X, de un
corte transversal de un objeto, para distintos ángulos de rotación con respecto
al mismo. Cada una de estas imágenes es una proyección del objeto, el problema
consiste en obtener laestructura interna del objeto, a partir de todas las posibles
proyecciones ([?]). Esta técnica busca superar tres limitaciones en la radiología
convencional. Primero, la imposibilidad de mostrar en una imagen radiológica
bidimensional toda la información contenida en una escena tridimensional, debido a la superposición de los objetos en la imagen que se tenía; segundo, la
limitada capacidad paradistinguir tejidos blandos; y nalmente, la imposibilidad de cuanticar las densidades de los tejidos ([?]). Tras la pronta inclusión de
la tomografía en la práctica clínica, no solo se propusieron diferentes geometrías,
sino que también se buscaron métodos que ofrecieran aproximaciones que permitieran reconstruir la imagen con el menor costo computacional posible. Esto
llevó a que la...