La Transformada Z Inversa

3.4 La transformada Z inversa
En esta sección consideremos el problema de recuperar en sucesión causal { xk} a partir del conocimiento de X(z), su transformada z. Como veremos el trabajo en la inversión de la transformada de Laplace en la sección 2.2.7 será un recurso valioso para esta tarea.
Formalmente el símbolo Z-1[X(z)] indica una sucesión causal { xk} cuya transformada z es X(z) ; estoes:
Si Z xk=X(z) entonces xk=Z-1[X(z)]
Esta correspondencia entre Xz y { xk} es llamada la transformada inversa z, siendo { xk} la transformada inversa de Xz, Z-1 el operador transformación inversa z .
Como en la sección 2.2.8 para la transformada de Laplace, la forma más obvia de encontrar la transformada inversa de Xz es usar una tabla de transformadas como la dada en la figura 3.3.Algunas veces es posible escribir la transformada inversa directamente a partir de la tabla pero es más frecuente que no primero es necesario hacer algunas manipulaciones algebraicas sobre Xz. En particular, frecuentemente necesitamos determinar la transformada inversa de una expresión racional de la forma Pz/Q(z), donde Pz y Q(z) son polinomios de z. En cada caso el procedimiento como en el casode transformada Laplace, consiste en desarrollar primero la expresión o una forma corregida de ella en fracciones parciales y después usar la tabla de transformadas. Ahora ilustraremos el procedimiento a través de algunos ejemplos.
Técnicas de inversión
Ejemplo 3.7:
Encuentre
Z-1[zz-2]
Solución: en la figura 3.3, veamos que z/(z-2) es un caso especial de la transformada 1z-ja-con a=2. AsíZ-1zz-2={2k}

Ejemplo 3.8:
Encuentre
Z-1[zz-1(z-2)]
Solución: Guiados por nuestro trabajo sobre la transformada de Laplace, debemos intentar descomponer
Yz=zz-1(z-2)
En fracciones parciales. Con este método correcto como probaremos después. Sin embargo, observemos que la mayoría de las entradas en la figura3.3 contienen un factor z en ele numerador de la transformada. Por lo tanto,resolvemos
Yzz=1z-1(z-2)
En fracciones parciales, como
Yzz=1(z-2)-1(z-1)
Así que
Yz=z(z-2)-z(z-1)
Entonces usando el resultado Z-1[z/(z-a)]={ak} junto con la propiedad de linealidad, tenemos
Z-1Yz=Z-1zz-2-zz-1=Z-1zz-2-Z-1zz-1
=2k-1k k≥0
Así que
Z-1zz-1z-2=2k-1 k≥0

Supongamos que en el ejemplo 3.8 no pensábamos mucho y simplemente resolvimos Yz, en vez deY(z)/z, en fracciones parciales. ¿Será el resultado el mismo? La respuesta por supuesto es “si”, como probaremos ahora. Al desarrollar
Yz=zz-1(z-2)
En fracciones parciales da
Y(z)=2(z-2)-1(z-1)
Lo que puede escribirse como
Yz=1z.2z(z-2)-1z.z(z-1)
Como
Z-12zz-2=2Z-1zz-2=22k
Se sigue de la primera propiedad de traslación (3.15) que
Z-11z.2z(z-2)=2.2k-1 (k>0) 0(k=0)
De manera similar
Z-11z.z(z-1)= 1k-1={1} (k>0) 0 (k=0)
Combinando estos dos últimos resultado tenemos
Z-1Yz=Z-11z.2z(z-2)-Z-11z.z(z-1)= 2k-1 (k>0) 0 (k=0)
Que como se esperaba, coincide con la respuesta obtenida en el ejemplo 3.8.
Podemos ver que este último procedimiento, aunque permite llegar al mismoresultado, involucra mayor esfuerzo en el uso del teorema de traslación. Cuando sea posible, evitaremos esto “extrayendo” el factor z como en el ejemplo 3.8, pero por supuesto esto no siempre es posible y debemos recurrir a la propiedad de traslación, como ilustra el siguiente ejemplo.

Ejemplo 3.9:
Encuentre
Z-1[2z+1z+1(z-3)]
Solución: En este caso, en el numerador no hay ningún factor zdisponible y entonces debemos desarrollar
Yz=2z+1z+1(z-3)
En fracciones parciales con lo que se obtiene
Yz=14.1z+1+74.1z-3=14.1z.zz+1+74.1z.zz-3
Como
Z-11z+1=-1k k≥0
Z-11z-3=3k (k≥0)
Se sigue a partir de la primera propiedad del corrimiento (3.15) que
Z-11z.z(z+1)= (-1)k-1 (k>0) 0 (k=0)
Z-11z.z(z-3)= 3k-1 (k>0) 0...