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Números y Proporcionalidad 1.- Los números Irracionales ( )

Clase N°2: Números Irracionales, Reales y Desafíos

1.1. Definición: Los números Irracionales corresponden a todos los números decimales infinitos sin período, razón por la cual no pueden expresarse como una fracción. Por ejemplo, lasraíces no exactas son irracionales. La intersección entre los números racionales y los irracionales es vacía.

√

ℚ ∩ ������ = ������
Posiblemente el primer número irracional que se descubrió fue la "raíz de dos", que se obtiene a partir de calcular la diagonal de un cuadrado de lado uno por medio del teorema de Pitágoras (√ ).

Ejemplo 1

Son irracionales: Son racionales:

= ;

;

√ =√ = ;

;

= =

1.2. Aproximaciones Dado que en muchas ocasiones es engorroso trabajar con números que presentan muchos decimales, éstos se pueden aproximar usando redondeo (se eliminan los decimales a partir de un cierto dígito, pero se aumenta en una unidad este dígito, si el que estaba a la derecha era mayor o igual que 5) o truncamiento (se eliminan los decimales a partir de un ciertodígito). Ejemplo 2 Aproximemos el número 125,475 según lo que se indica: Redondeado a los décimos 125,5 Truncado a los Décimos 125,4 Redondeado a los centésimos 125,48 Truncado a los centésimos 125,47

1.3. Cifras significativas Cuando medimos algo, por ejemplo el largo de un cuaderno usando una regla, la medida que se obtiene en centímetros tendrá a lo más 1 decimal de exactitud, ya que la reglano tiene más subdivisiones que el milímetro. Es decir que la exactitud de la medida depende del instrumento de medición y no de la cantidad de números decimales que se agreguen. Observemos el siguiente ejemplo, donde se entregan las medidas de un triángulo y se pide calcular su área. Base = 2,50 m Altura = 1,35 m Área = 1,6875 m2

1,35 m

2,50 m 2

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Clase N°2:Números Irracionales, Reales y Desafíos

Se aprecia que los datos tienen 3 cifras significativas y la respuesta viene dada con 5 cifras significativas. En otras palabras, el resultado tiene mayor precisión que los datos. ¡Imposible! Por esta razón, aproximamos por redondeo el área: Área = 1,69 m2 En resumen: Las cifras significativas son aquellas que se consideran válidas en alguna medición ytienen relación con el nivel de precisión con que fueron obtenidas. Como norma, para conocer el número de cifras significativas de un número se cuentan todas las cifras desde la primera cifra mayor o igual que 1. Ejemplo 3 0,01320 410,00 0,001 tiene 4 cifras significativas tiene 5 cifras significativas tiene 1 cifra significativa

2.- Los números Reales (ℝ)
2.1. Definición: El conjunto de losnúmeros Reales corresponde a la unión entre el conjunto de los números Racionales y el conjunto de los números Irracionales. Son todos aquellos números que pueden expresarse en forma de decimal finito o infinito. Es lo que conocemos hoy como toda la recta numérica.

ℝ = ℚ ∪ ������
2.2. Limitaciones de los Reales Existen muchos casos que escapan al conjunto de los números reales, por ejemplo: Raíces de índice par y cantidad subradical negativa, por ejemplo: √  Cuocientes con divisor igual a cero, por ejemplo: 1/0  Potencia con base cero y exponente cero: 00

Ejemplo 4 Entonces:

Repaso teoría de conjuntos. Dados los conjuntos: A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5} y D = {3, 4}

A  B = {1, 2, 3, 4, 5} A  B = {3, 4} DA BA A – B = {1, 2}

(unión de conjuntos) (intersección deconjuntos) (D es subconjunto de A) (B no es subconjunto de A) (diferencia entre A y B: "lo que tiene A y no tiene B")

3

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Clase N°2: Números Irracionales, Reales y Desafíos

En el siguiente diagrama se presentan los distintos conjuntos numéricos estudiados. Además se incorporan, como ejemplo, algunos de los elementos de estos conjuntos.

ℝ = ℚ ∪ ������ ℚ ℤ...