lalalala

EIP1115 - CÁLCULO II
APUNTE Nº 1
Profesoras: Sra. Genoveva Garrido P., Sra. Ana Calfiqueo S.
11 de Marzo de 2013

I. La Integral Indefinida
Definición: Sean las funciones J y 0 definidas en un intervalo M . Entonces J es primitiva o
antiderivada de una función 0 si se verifica que J w ÐBÑ œ 0 ÐBÑß para todo B − M .
Ejemplo 1) a) Verifica que J ÐBÑ œ # ÈB es una primitiva de la función 0ÐBÑ œ
b) Indica otra primitiva de 0 , distinta de la dada en a)
"
c) ¿Cuántas primitivas tiene 0 ÐBÑ œ ÈB ?

"
ÈB Þ

Ejemplo 2) À Comprobar que J ÐBÑ œ " B$  &B  #ß es una antiderivada de
$
0 ÐBÑ œ B#  &Þ Es decir, probar que J ´ÐBÑ œ 0 ÐBÑÞ
La derivación y la antiderivación son procesos inversos, pero mientras una función tiene una
derivada, ésta puede tener muchas antiderivadas.
$Ejemplo: algunas antiderivadas de $B# son B$  (ß B$  È*ß B$  "#ß />-Þ
Observación: Si J es una antiderivada de 0 , entonces la antiderivada más general de 0 es
J  ->/Þ
Proposición 1: Si J es una primitiva de 0 en el intervalo M , entonces J ÐBÑ  G , donde G es
una constante, también lo es.
En efecto, ya que ÐJ ÐBÑ  GÑw œ J w ÐBÑ  G w œ 0  ! œ 0
Proposición 2: Si una función 0 tienederivada nula en un intervalo entonces 0 es constante.
Esto es, si 0 w ÐBÑ œ ! entonces 0 ÐBÑ œ 5 donde 5 es constante. Es decir, la primitiva de la
función constante cero es la función constante 5 .
Proposición 3: Si J" y J# son primitivas de 0 en un intervalo M , entonces ambas se diferencian en
una constante, es decir J" ÐBÑ  J# ÐBÑ œ G o bien
J" ÐBÑ œ J# ÐBÑ  G , donde G es unaconstante real.

Las antiderivadas de una función
Si J y K son antiderivadas de 0 , entonces existe una constante G tal que
KÐBÑ œ J ÐBÑ  G
Observación: Existe una explicación geométrica para el hecho de que dos antiderivadas
cualesquiera de la misma función se diferencian en una constante.
¿ Podría explicar tal situación ? Comente con su compañero y analice el caso particular de la
antiderivadade la función 0 ÐBÑ œ $B#

De la proposición 3 se tiene la siguiente consecuencia: dada una primitiva J de 0 en un intervalo
M, el conjunto de todas las primitivas de 0 es J ÐBÑ  G . A este conjunto se le llamará la
integral indefinida de f y se denotará por ' 0 ÐBÑ.B .
Luego, podemos escribir

donde:

' 0 ÐBÑ.B œ J ÐBÑ  G ,

_ 0 ÐBÑ es el integrando
_ el símbolo ' es el símbolo deintegración
_ .B indica que la variable de integración es B.

Se emplea una anotación análoga, s la función se expresa en términos de una variable
diferente de BÞ Por ejemplo, ' $># .> œ >$  GÞ En la expresión ' $:B# .Bß el .B indica
que la variable de integración es B en lugar de :Þ Así ' $:B# .B=:B$  GÞ
Propiedades de la integral indefinida

1)' 0 ÐBÑ„1ÐBÑ ‘.B œ ' 0 ÐBÑ.B „ ' 1ÐBÑ.B2) ' 50 ÐBÑ.B œ 5 ' 0 ÐBÑ.B, 5 œ ->/Þ

Reglas básicas de integración:
1. ' .B œ B  G

4.'

"
B

2. ' 5.B œ 5B  G , 5 œ ->/Þ 3. ' B8 .B œ

5. ' /B .B œ /B  G

.B œ 68¸B¸  G

7.' =/8 B .B œ  -9= B  G

8.' -9= B .B œ =/8 B  G

10. ' -=- # B .B œ  -9> B  G
13.'

.B
B ÈB# "

11. '

œ + B .B œ 68¸=/8 B¸  G

.B
"B#

œ ++8ÐBÑ  G

6. ' +B .B œ

B8"
8" G, 8 Á  "

+B
68Ð+Ñ

G

9.' =/- # B .B œ >+8 B  G

12.'

14. ' =/- B >+8 B .B œ =/- B  G

.B
È"B#

œ ++8 B¸  G

II. Cálculo de integrales usando reglas básicas.
Ejemplo 1. Calcular las siguientes integrales indefinidas:

a) ' Ð&B'  "Ñ.B

b) '

Ð#D"Ñ#
#D .D

"
d) ' Ð"  =/8B  %-9=BÑ.B e) ' Ð B# 

g) '

B$ #B#  %B
.B
B

%
BÈB

h) ' Ð3B 

#Ñ.B

#
È"B# Ñ.B

c) '

># =/8 >
"!

f) ' Ð#/B 
i) '

#
" ># .>

.>
"
(B

 "Ñ.B

Aplicaciones a las ecuaciones diferenciales
Toda ecuación que contenga una derivada se denomina ecuación diferencial. Por ejemplo,
.C
.B

œ $B#  &ß

.T
.>

.C
.C
œ 5T ß Ð .B Ñ#  $ .B  #C œ /B

Ecuaciones de primer y segundo orden

.C
.B

œ 0 ÐBÑ y

.#C
.B#

œ...