Laplace

IA TRANSFORMADA DE IAPLACE
7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7

Definición de la transformada de Laplace Transformada inversa Teoremas de traslación y derivadas de una transformada Transformadas de derivadas, integrales y funciones periódicas Aplicaciones Funchh delta de Dirac Sistemas de ecuaciones lineales Ejercicios de repaso

En el modelo matemático lineal de un sistema físico, como el de unamasa y resorte o de un circuito eléctrico en serie, el lado derecho de la ecuación diferencial I

+p$+kX=f(t)

0 sea

L ~+Rdt+Cq=-W) d2q dq 1

es una función forzada, y puede representar a una fuerza externa f(t) o a un voltaje aplicado E(t). En la sección 5.1 resolvimos problemas en que las funcionesfy E eran continuas. Sin embargo, no es raro encontrarse con funciones continuas por tramos;por ejemplo, el voltaje aplicado a un circuito podría ser uno de los que se muestran en la figura 7.1. Es difícil, pero no imposible, resolver la ecuación diferencial que describe el circuito en este caso. La transformada de Laplace que estudiaremos en este capítulo es una valiosa herramienta para resolver problemas como el anterior.

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CAPíTULO

7 IA TRANSFORMADA DE LAPLACE

FIGURA7.1

DEFINICIÓN DE IA TRANSFORMADA DE IAPLACE
HPropiedad de linealidad n Transformada integral WDejinición de la transformación de Laplace n Funciones continuas por tramos n Funciones de orden exponencial n Existencia de la transformada de Laplace w Transformadas de algunas funciones básicas

Propiedad de linealidad En el curso elemental de cálculo aprendimos que la diferenciación y laintegración transforman una función en otra función; por ejemplo, la función f(x) = 2 se transforma, respectivamente, en una función lineal, una familia de funciones polinomiales cúbicas y en una constante, mediante las operaciones de diferenciación, integración indefinida e integración definida:
bXL~~

.

ak

’

I

2 x2 dx = - +
3

c,

I0

3 2 dx = 9 .

Además, esas tres operacionesposeen la propiedad de linealidad. Esto quiere decir que para cualesquier constantes (Y y p,

siempre y cuando exista cada derivada e integral. Sif(x, y) es una función de dos variables, una integral definida defcon respecto a una de las variables produce una función de la otra variable; por ejemplo, al mantener y constante, j,’ 2$ & = 3~‘. De igual forma, una integral definida como j: K (s, r)f(t) transforma una funciónf(t) en una función de la variables. Nos interesan mucho las transformadas integrales de este último tipo, cuando el intervalo de integración es [0, -) no acotado.

Sección

7.1

Definición de la transfarmada de Laplace

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Definición básica Sif(t) estit definida cuando t 2 0, la integral impropia j: K (s, t)f(t) dt se define como un límite:
0

m K(s,t)f(t) dt =

Si existe el límite, se dice que la integral existe 0 que es convergente; si no existe el límite, la integral no existe y se dice que es divergente. En general, el límite anterior existe ~610 para ciertos valores de la variable s. La sustitución K(s, t) = e”’ proporciona una transformación integral muy importante.

Cuando la integral definitoria (2) converge, el resultado es unafunción de s. En la descripción general emplearemos letras minúsculas para representar la función que se va a transformar y la mayúscula correspondiente para denotar su transformada de Laplace; por ejemplo, su-co>= F(s), 3 kW> = G(s), wJw>= Y(s).

Aplicación de la definición 7.1

EvalúeY{l).
SOLUCIÓN

Ce(l) = 1: e-$‘( 1) dt = Et 10 eeS’ dt
b = límy
b-m S 0

= lh -e-Sb +
b-m s

1

= 1s

siempre que s > 0; en otras palabras, cuando s > 0, el exponente -sb es negativo, y e-sb + 0 cuando b + m. Cuando s < 0, la integral es divergente.

n

El empleo del signo de límite se vuelve tedioso, así que adoptaremos la notación ITj’ como versión t~quigrhfica de límb + _ ( )$; por ejemplo, (e(l) = 1: e-Sr& = $f m = i, s > 0.
0

Se sobreentiende que en el límite superior queremos...