Laplace

Solución de Ecuaciones Diferenciales
lineales mediante la Transformada de
Laplace

•

dny
L
dt n

depende de Y ( s) L y(t ) y de las n-1
derivadas de y(t), evaluadas en t=0.

• Esta propiedad haceque la Transformada de
Laplace sea adecuada para resolver problemas
lineales de valores iniciales en los que la
ecuación
diferencial
tiene
coeficientes
constantes.

Solución de EcuacionesDiferenciales
lineales mediante la Transformada de
Laplace…
En el problema:
dny
d n 1y
a n n a n 1 n 1  a0 y g ( t )
dt
dt
y(0) y0 ; y (0) y1; ; y ( n 1) (0)

yn

1

Donde las ai, i=0,1,2,…,n y y0, y1,.., yn-1son
constantes, por la propiedad de linealidad de la
Transformada de Laplace tenemos:
dny
L an n
dt
an L

dny
dt n

d n 1y
a n 1 n 1  a0 y
dt
a n 1L

d n 1y
dt n 1

L g (t )

 a0 L y

L g (t )Solución de Ecuaciones Diferenciales
lineales mediante la Transformada de
Laplace…
De la Transformada de una derivada:
dny
L
dt n

s n F ( s ) s n 1 f (0) s n 2 f (0) s n 3 f (0)



f ( n 1) (0)

laecuación:
anL

dny
dt n

d n 1y
an 1L
dt n 1

se transforma en:

 a0L y

L g (t )

Solución de Ecuaciones Diferenciales
lineales mediante la Transformada de
Laplace…
an [ s nY ( s ) s n 1 y(0)

y ( n 1)(0)]



an 1[ s n 1Y ( s ) s n 2 y(0)



y(n

2)

(0)] 

a0Y ( s ) G( s )

Donde:
L y(t )

Y ( s)

y L g (t )

G( s )

Solución de Ecuaciones Diferenciales
lineales mediante la Transformada deLaplace…
La Transformada de Laplace de una ecuación
diferencial lineal de coeficientes constantes se
convierte en una ecuación algebraica en Y(s).
Si se resuelve la ecuación transformada
an [ s nY ( s )s n 1 y(0)



an 1[ s n 1Y ( s ) s n 2 y(0)

y ( n 1) (0)]


y(n

2)

(0)] 

para Y(s), primero se obtiene:

P(s)Y ( s) Q( s) G( s)

a0Y ( s ) G( s )

Solución de Ecuaciones Diferencialeslineales mediante la Transformada de
Laplace…

P(s)Y ( s) Q( s) G( s)
Luego, a partir de:
se escribe
Q( s ) G( s )
Y ( s)
P( s ) P( s )
Donde:
P( s ) an s n an 1s n 1  , a0 y Q(s ) son
polinomios en s, de...