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Ecuaciones Diferenciales. Solución Tarea 1.

gcarlos100@yahoo.com

Problema 1 (prob 1 p 10) Exprese el orden de la ecuación diferencial ordinaria. Determine si la ecuación
es lineal o no lineal.
00
(1 − x) y − 4xy 0 + 5y = cos x.
00

Solución. La ecuación dif. por el término y es de segundo orden y dado que es de la forma
a2 (x) y (2) + a1 (x) y (1) + a0 (x) y = g (x)
entonces decimoses lineal.
Problema 2 (prob 3 p 10) Exprese el orden de la ecuación diferencial ordinaria. Determine si la ecuación
es lineal o no lineal.
00
t5 y (4) − t3 y + 6y = 0.
Solución. El término y (4) hace a la ecuación de cuarto orden y cumple con la forma
a4 (t) y (4) + a3 (t) y (3) + a2 (t) y (2) + a1 (t) y (1) + a0 (t) y = g (t)
entonces decimos es una ecuación diferencial lineal.
Problema3 (prob 5 p 10) Exprese el orden de la ecuación diferencial ordinaria. Determine si la ecuación
es lineal o no lineal.
s
µ ¶2
d2 y
dy
= 1+
.
2
dx
dx
Solución. El término

d2 y
dx2

hace a la ecuación de segundo orden, y el término

³

dy
dx

´2

la hace no lineal.

Problema 4 (prob 7 p 10) Exprese el orden de la ecuación diferencial ordinaria. Determine si la ecuaciónes lineal o no lineal.
(sin θ) y (3) − (cos θ) y 0 = 2.
Solución. El término y (3) hace a la ecuación de tercer orden y tiene la forma
a3 (θ) y (3) + a2 (θ) y (2) + a1 (θ) y (1) + a0 (θ) y = g (θ)
por lo que es una ecuación lineal.

2007-1

Problema 5 (prob 11 p 10) Compruebe que la función indicada es solución explícita de la ecuación diferencial
y = e−x/2
2y 0 + y = 0;
Solución.Derivamos y sustituimos en la ED

entonces

y0 =

d h −x/2 i
1
= − e−x/2
e
dx
2

2y 0 + y
¶
µ
1
2 − e−x/2 + e−x/2
2

= 0
= 0

−e−x/2 + e−x/2 = 0
0 = 0

Problema 6 (prob 13 p 10) Compruebe que la función indicada es solución explícita de la ecuación diferencial
00
y = e3x cos 2x
y − 6y 0 + 13y = 0;
1

Solución. Derivamos y sustituimos en la ED

gcarlos100@yahoo.com
y0=
00

y =
Entonces

¤
d £ 3x
e cos 2x = −2e3x sin 2x + 3e3x cos 2x
dx

¤
d £
−2e3x sin 2x + 3e3x cos 2x = 5e3x cos 2x − 12e3x sin 2x
dx
00

y − 6y 0 + 13y = 0
¡
¢
¡
¢
5e3x cos 2x − 12e3x sin 2x − 6 −2e3x sin 2x + 3e3x cos 2x + 13 e3x cos 2x = 0

5e3x cos 2x − 12e3x sin 2x + 12e3x sin 2x − 18e3x cos 2x + 13e3x cos 2x = 0
0 = 0

Problema 7 (prob 15 p 10) Compruebe que lafunción indicada es solución explícita de la ecuación diferencial
√
y =x+4 x+2
(y − x) y 0 = y − x + 8;
Solución. Derivamos y sustituimos en la ED
√
¤
d £
x+4 x+2 =1+4
y =
dx
0

Entonces

µ

1
√
2 x+2

(y − x) y 0 =
¶
µ
√
¡
¢
4
x+4 x+2−x 1+ √
=
2 x+2
¶
µ
√
4
=
4 x+2 1+ √
2 x+2
√
√
16 x + 2
4 x+2+ √
=
2 x+2
√
4 x+2+8 =

¶

4
=1+ √
2 x+2

y−x+8
√x+4 x+2−x+8
√
4 x+2+8
√
4 x+2+8
√
4 x+2+8

2007-1

El dominio de y = f (x) es ∀x ∈ [−2, ∞) . Y el intervalo de definicion es ∀x ∈ (−2, ∞), dado que en x = −2,
y = x y la ecuación diferencial no se cumple.
Problema 8 (prob 17 p 10) Compruebe que la función indicada es solución explícita de la ecuación diferencial
¢
¡
y = 1/ 4 − x2
y 0 = 2xy 2 ;
Solución. Derivamos y sustituimos enla ED
∙
¸
2x
d
1
=
y0 =
2
dx 4 − x
(4 − x2 )2

Entonces

y0
2x
(4 − x2 )
2x

2

(4 − x2 )

2

= 2xy 2
µ
= 2x

1
4 − x2
2x

=

(4 − x2 )

¶2

2

El dominio de y = f (x) es ∀x ∈ R − {±2} . Un intervalo de definición puede ser x ∈ (−2, 2) .
2

Ecuaciones Diferenciales. Solución Tarea 2. Ej 2.2 y 2.3.

gcarlos100@yahoo.com

Problema 1 (prob 7 p54)Resuelva la ecuación diferencial por medio de separación de variables.

Z

dy
dx
dy
dx
e−2y dy
e−2y dy
1
− e−2y
2
e−2y
−2y
y

= e3x+2y
= e3x e2y
= e3x dx
Z
=
e3x dx

1 3x
e +C
3
2
= − e3x + C
3
¯
¯
¯
¯ 2 3x
¯− e + C ¯
= ln ¯
¯
3
¯
¯
¯
1 ¯ 2 3x
¯− e + C ¯
= − ln ¯
¯
2
3
=

Problema 2 (prob 9 p54) Resuelva la ecuación diferencial por medio de separación...