las buenas tareas

FACULTAD DE INGENIERÍA
UNAM

PROBABILIDAD
Y
ESTADÍSTICA
Irene Patricia Valdez y Alfaro

irenev@unam.mx

T E M A S DEL CURSO

1. Análisis Estadístico de datos muestrales.
2. Fundamentos de la Teoría de la
probabilidad.
3. Variables aleatorias.
4. Modelos probabilísticos comunes.
5. Variables aleatorias conjuntas.
6. Distribuciones muestrales.

4.

CONTENIDO TEMA 4
Modelosprobabilísticos comunes.
Objetivo: El alumno conocerá algunas de las distribuciones
más utilizadas en la práctica de la ingeniería y
seleccionará la más adecuada para analizar algún
fenómeno aleatorio en particular.
4.1 Ensayo de Bernoulli y Distribución de Bernoulli.
4.2 Distribucion Binomial, Geométrica, Pascal e Hipergeométrica.
4.3 Proceso de Poisson y Distribución de Poisson.
4.4Distribución uniforme continua.
4.4 Distribuciones normal y normal estándar.
4.5 Generación de números aleatorios.

MODELOS PROBABILÍSTICOS
COMUNES
DISTRIBUCIONES DE
PROBABILIDAD DISCRETAS

ENSAYO DE BERNOULLI
Consiste en realizar un sólo experimento (ensayo) en el
cual existen únicamente dos posibles resultados:
S = { éxito, fracaso }
Por ejemplo: observar un artículo y ver si esdefectuoso
Definimos a la variable aleatoria de Bernoulli de la
siguiente forma:
0;
I=

Si el resultado del ensayo es “fracaso”.

1;

Si el resultado del ensayo es “éxito”.

A ésta última se le conoce como “función indicadora”

DISTRIBUCIÓN DE BERNULLI (1/3)
Supongamos que en un ensayo de Bernoulli la probabilidad
de obtener éxito es p. Como el ensayo tiene únicamente dos
resultadosposibles, entonces la probabilidad de obtener un
fracaso es 1-p. llamaremos q a la probabilidad de fracaso.
p = Probabilidad de éxito
q = (1-p) = Probabilidad de fracaso

Con esto, la distribución de probabilidad de la variable
aleatoria de Bernoulli es:

P( I ) =

q;
p;
0;

I=0
I=1
c.o.c

DISTRIBUCIÓN DE BERNULLI (2/3)
P( I ) =

q;
p;
0;

I=0
I=1
c.o.c

La media ovalor esperado de la variable aleatoria de
Bernoulli es:

E[ I ]  0q  1 p  p

I  p

La varianza de la variable aleatoria de Bernoulli es:
V [ I ]  E[ I 2 ]  E[ I ]2

V [ I ]  (0 2 q  12 p )  p 2  p  p 2  p (1  p )  pq

 I2  pq

DISTRIBUCIÓN DE BERNULLI (3/3)
Si llamamos X, en lugar de I, a la Variable aleatoria de
Bernoulli, su distribución de probabilidad queda:P( x ) =

q;
p;
0;

x=0
x=1
c.o.c

La cual también se puede
abreviar de la forma:

 p x q1 x ; x  0, 1
P ( x)  
c. o. c.
 0

X  p

2
 X  pq

Esta es la forma más
usual de representar a
la distribución de
Bernoulli

ENSAYO BINOMIAL
Consiste en realizar n veces el ensayo de bernoulli, de
manera independiente uno de otro y suponiendo que la
probabilidad deéxito p permanence constante en cada uno
de ellos.
Por ejemplo: observar cinco artículos de un mismo lote
y contar el número de artículos con defecto.
Definimos a la variable aleatoria de Binomial de la
siguiente forma:
n

X  I1  I 2  ...I n   I j
j 1

donde las Ij son variables aleatorias de Bernoulli
independientes, cada una con media p y varianza pq.

Así definida, X representaentonces el número de éxitos
obtenidos al realizar n veces el ensayo de Bernoulli.

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL (1/3)
Al realizar el ensayo binomial, la variable aleatoria puede
adquirir los valores: X={0,1,2,...,n}
Supongamos que se realizan n ensayos de Bernoulli y la probabilidad

de éxito es p, la distribución de X para n =2, 3 ó 4 es:

Se observa que el término genérico es pxqn-xrepetido un determinado número de veces
¿cuántas?

Para n= 2

Para n= 3

X
0

P(x)
0 2
q q = pq

(1 vez)

1

p q +
1 1
q p = pq

(2 veces)

2

p p

2 0

pq

Para n= 4

X
0

P(x)
0 3
q q q = pq

(1 vez)

1

p q q +
q p q +
1 2
q q p = pq

(3 veces)

p p q +
p q p +
2 1
q p p = pq

X
0

P(x)
0 4
q q q q = pq

1

p q q q
q p q q
q q p...