LAS CONDICIONES DE INADA

2.3 Modelo de Crecimiento de Solow
El modelo de Solow se centra en el estudio de tres variables: el Producto (Q), el capital (K) y el trabajo (L). El Producto es un único bien que puede utilizarse indistintamente para consumo o para la producción, es decir, como capital. Se supone que el stock de capital genera unos servicios productivos, en proporción al stock citado.
El lado de la oferta enla economía simplificada se determina por medio de una función de producción que integra las variables mencionadas:

Bajo la hipótesis que no existe cambio tecnológico, la función de producción utilizada por Solow es denominada función de producción neoclásica, continua y diferenciable que cumple las condiciones de Inada (1963), lo que garantiza que no haya discontinuidades, de modo que se puedallegar a un equilibrio (estacionario) único.
Las condiciones de Inada son:
 Para todo K>0 y L>0, los productos marginales del capital y del trabajo son positivos y decrecientes.
 La función de producción presenta rendimientos constantes a escala.
 El producto marginal del capital y del trabajo se aproximan a infinito a medida que el volumen de ambos factores productivos tienden a cero,y se aproxima a cero conforme el volumen de capital y trabajo se aproximan a infinito.
El supuesto de rendimientos constantes a escala permite utilizar la siguiente simplificación:

donde, k=K/L que es la razón capital-trabajo. El Producto por trabajador es q = f (k). Luego,


Es decir, el producto por trabajador se puede expresar como una función del capital por unidad de trabajo orelación capital-trabajo. La simplificación permite expresar la cantidad de Producto por trabajador sólo dependiendo de la cantidad de capital por unidad de trabajo, y no del tamaño total de la economía. Gráficamente la función de producción es:


Se supone que en esta economía no hay mercados ni empresas; la economía está integrada por economías domésticas y familias productoras que son propietariastanto de los factores productivos como de la tecnología que permite transformarlos en el producto final.
Esta economía simplificada está cerrada al exterior, por lo tanto la inversión doméstica es igual al ahorro nacional: I = S.
El ahorro nacional será una fracción “s” del PIB, con ello I = S = s Q.
El cambio en el stock de capital es igual a la inversión, neta de depreciación. Es decir,donde
que es la derivada del capital respecto del tiempo, I es la inversión bruta y  es la tasa de depreciación que se supone constante y mayor que cero.
Pero I = S por lo que,

Al dividir por la fuerza de trabajo resulta:

Las familias ofrecen una fuerza de trabajo medida en personas, L, cuyos servicios se utilizan en la producción. El tamaño de la fuerza de trabajo varía a lo largo deltiempo debido al crecimiento de la población (n). Para simplificar el análisis y sin perder rigurosidad, se supondrá que la fuerza de trabajo crece a la misma tasa que lo hace la población, que es constante y exógena. Es decir,

Adicionalmente se supone que cada trabajador desarrolla su actividad con una intensidad dada.
Dado que
Como el crecimiento de la fuerza de trabajo se supone igual alcrecimiento de la población, la ecuación anterior queda,
, es así como,
. Al igualar esta expresión con:

resulta:

reordenando queda,

Esta es la ecuación fundamental de acumulación del capital que define la trayectoria temporal del stock de capital per cápita, que depende sólo de k.
En esta ecuación se observa que el crecimiento del capital por trabajador es igual a la tasa de ahorro oinversión bruta per cápita (sq) menos el término (n + )k que puede interpretarse como la inversión de equilibrio, es decir, la inversión que debe llevarse a cabo (materializarse) para mantener k al nivel existente, dado que el trabajo crece a una tasa “n” y el capital se deprecia a una tasa . El término (n + ) puede interpretarse como la tasa de depreciación efectiva del stock de capital por...