lectura 5 elipse

2014

Programa de Cursos de Homologación
5 La Elipse.

5.1 La elipse como lugar geométrico. Definición y elementos.
Se llama elipse al lugar geométrico de los puntos de un plano cuya suma de
distancias a dos puntos fijos F y F' (Figura 5.1) es una cantidad constante, que
se representa por 2a. Así, para cualquier punto M de la curva, se tiene MF +
MF' = 2a.

Figura 5.1 La elipse en el plano
Lospuntos fijos F y F' se llaman focos y la longitud FF' distancia focal que se
designa por 2c. El punto medio de FF' es el centro de la elipse.
Para que haya elipse es necesario que 2c < 2a o sea c < a (pues en el triángulo
MFF' un lado FF' = 2c, es menor que la suma de los otro dos MF' + MF = 2a).
Los segmentos MF y MF' que unen un punto cualquiera de la elipse con los
focos se llaman radiosvectores. Un segmento CC' que une dos puntos
cualesquiera de la elipse es una cuerda. Una cuerda que pasa por el centro, tal
como DD', es un diámetro.
El diámetro que pasa por los focos se llama eje mayor o eje focal y el
perpendicular a él es el eje menor, o normal que se designa por 2b. En la

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Figura, AA' es el ejemayor y BB' el menor. Las intersecciones A, A', B y B' de
los ejes con la curva son los vértices de la elipse.
Las cuerdas EE´ y GG´ que pasan por los focos y son perpendiculares al eje
mayor son los lados rectos de la elipse. Excentricidad de una elipse es la razón de
la semidistancia focal al semieje (c/a) y se representa por e.

5.1.1 Principales propiedades de la elipse
1. El eje mayor es igual ala cantidad constante 2a (Figura 5.1). En efecto: Por
ser A un punto de la elipse:
AF' + AF = 2a
Y como AF' = OA + OF' y AF = OA -OF,
Sustituyendo resulta:
OA + OF' + OA -OF = 2a, ∴

2OA = 2a, o sea, OA = a.

Análogamente
OA' = a
Luego
OA + OA' = 2a

∴

AA' = 2a.

2. Los vértices A y A', equidistan de los focos. En efecto:
AF = a-c

A'F' = a-c

∴

AF = A'F'.

3. Los ejes se cortan en su puntomedio. En efecto: según la propiedad anterior
O es el punto medio de AA'. También es el punto medio de BB´, porque siendo
B y B' puntos de la elipse se tiene FB '= FB' = a luego FF' o sea, AA' es la
mediatriz de BB', y por consiguiente;
OB = OB'

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4. E l cuadrado del semieje mayor es igual a la suma de los cuadradosdel
semieje menor γ de la semidistancia focal. En efecto: Por ser el triángulo BOF
(Figura 5.1) rectángulo:
BF 2 = BO 2 + OF 2

∴ a 2 = b2 + c2

5. La excentricidad es siempre menor que la unidad. En efecto: Por definición se
tiene:
BF = a ∴
e=

BF2 = a2

y como a > c la razón será siempre menor que la unidad

Nota. Cuanto más se aproxima c a a es mayor la excentricidad y la elipse tiene
"más formade elipse" y a medida que los focos se acercan al centro, la
excentricidad disminuye y la elipse se parece más a la circunferencia. Si la
excentricidad es igual a cero, lo que indica que a = b

la elipse se convierte en

una circunferencia.

5.2 Ecuación cartesiana de una elipse de centro en el origen y cuyos
ejes coinciden con los ejes coordenados.
Primer caso. Eje focal sobre el eje x.
Sea unaelipse de centro en el origen de coordenadas, focos F y F´ sobre el eje de
las x, FF´ = 2c y eje mayor = 2a, siendo a y c, números positivos y a > c, (Figura
5.2a).

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Figura 5.2a Elipse de centro en el origen
Aplicando el método de los lugares geométricos tendremos:
Sea M (x,y) un punto cualquiera de la elipse. Lapropiedad que caracteriza a los
puntos de la elipse es:
MF + MF´ = 2a.

(1)

Las coordenadas de F son (c, 0), las de F´ son (-c, 0) y las longitudes MF y MF'
son:
MF =

y

MF´ =

1. Expresando analíticamente la igualdad (1) resulta:
+

= 2a

2. Transformando. Aislando el primer radical en el primer miembro, elevando al
cuadrado, haciendo operaciones y reduciendo, queda:
= 2a =

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