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Glosario de matrices
Matriz: Es una tabla bidimensional, cuadrada o rectangular de datos (llamados elementos o entradas de la matriz) ordenados en filas y columnas, donde una fila es cada una de las líneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas verticales.
Nota: Casi siempre, se denotan a las matrices con letras mayúsculas mientras que se utilizan lascorrespondientes letras en minúsculas para denotar a los elementos de las mismas.
Se utilizan para:
- Describir sistemas de ecuaciones lineales.
- Realizar un seguimiento de los coeficientes de una aplicación lineal.
- Registrar los datos que dependen de varios parámetros.
Pueden:
- Sumarse.
- Multiplicarse.
- O descomponerse de varias formas, lo que también las hace un concepto clave en el campo delálgebra lineal.
Dimensiones de una matriz: Siempre se dan con el número de filas primero y el número de columnas después.
Orden: Tiene el significado de tamaño.

Ejemplo
Dada la matriz:

Que es una matriz 4x3. El elemento o es el 7.

La matriz

Es una matriz 1×9, o un vector fila con 9 elementos.
Suma o adición:
Dadas las matrices m-por-n , A y B, su suma A + B es la matriz m-por-ncalculada sumando los elementos correspondientes (i.e. (A + B)[i, j] = A[i, j] + B[i, j] ). Es decir, sumar cada uno de los elementos homólogos de las matrices a sumar.
Ejemplo:


Propiedades:
- Asociativa: Dadas las matrices m×n A, B y C
(A + B) + C = A + (B + C)

- Conmutativa: Dadas las matrices m×n A y B
A + B = B + A

- Existencia de matriz cero o matriz nula
A + 0 = 0 + A = A- Existencia de matriz opuesta
Con gr-A = [-aij]
A + (-A) = 0
(C-I2)-1(AT+B)

Producto por un escalar:
Dada una matriz A y un escalar c, su producto cA se calcula multiplicando el escalar por cada elemento de A (i.e. (cA)[i, j] = cA[i, j] ).
Ejemplo:


Propiedades:
Sean A y B matrices y c y d escalares.
- Clausura: Si A es matriz y c es escalar, entonces cA esmatriz.
- Asociatividad: (cd)A = c(dA)
- Elemento Neutro: 1•A = A
Distributividad:
- De escalar: c(A+B) = cA+cB
- De matriz: (c+d)A = cA+dA

Producto:
El producto de dos matrices se puede definir sólo si el número de columnas de la matriz izquierda es el mismo que el número de filas de la matriz derecha.


Para cada par i y j.
Por ejemplo:


Propiedades:
Si los elementos de lamatriz pertenecen a un cuerpo, y puede definirse el producto, el producto de matrices tiene las siguientes propiedades:
- Propiedad asociativa: (AB)C = A(BC).
- Propiedad distributiva por la derecha: (A + B)C = AC + BC.
- Propiedad distributiva por la izquierda: C(A + B) = CA + CB.
- En general, el producto de matrices tiene divisores de cero: Si A.B = 0 , No necesariamente A ó B son matricesnulas.
- El producto de matrices no verifica la propiedad de simplificación: Si A.B = A.C, No necesariamente B=C.
El producto de dos matrices generalmente no es conmutativo, es decir, AB ≠ BA. La división entre matrices, es decir, la operación que podría producir el cociente A / B, no se encuentra definida. Sin embargo, existe el concepto de matriz inversa, sólo aplicable a las matricesinvertibles.
Aplicaciones lineales:
Las matrices pueden representar convenientemente aplicaciones lineales (también conocidas como "transformaciones lineales") entre dos espacios vectoriales de dimensión finita. Así, siℝn es el espacio euclídeo n-dimensional cuyos vectores se pueden representar como vectores columna (matrices n-por-1), para cada aplicación lineal f : ℝn → ℝm existe una única matrizA m porn de tal forma que:

Para cada vector x de ℝn.
Se dice que la matriz A "representa" la aplicación lineal f, o que A es la matriz coordenada de f.
El producto de matrices claramente corresponde a la composición de las aplicaciones. Si la matriz k por m B representa otra aplicación lineal g : ℝm → ℝk, entonces la composición g o fse representa por BA:

Esto se desprende de la mencionada...