Libosuki

Los Números Enteros

1. Introducción
En este capítulo nos dedicaremos al estudio de los números enteros los cuales son el punto de partida
de toda la teoría de números. Estudiaremos una serie de propiedades básicas de este conjunto, que son
fundamentales para el posterior desarrollo de esta materia, como lo son el algoritmo de la división y el
teorema de la factorización única.
Advertimos allector sobre la necesidad de estudiar cuidadosamente el material expuesto en todas estas
secciones de este capítulo, antes de pasar a los siguientes.
El enfoque usado en estas notas consiste en exponer inicialmente las propiedades básicas de los enteros, y a partir de éstas, ir deduciendo propiedades más avanzadas, como proposiciones, teoremas,..etc. En
ningún momento nos planteamos dar un tratamientoformal y riguroso del tema de los números enteros,
cosa que esta fuera del alcance de este curso. Para un estudio completo acerca de la construcción de los
enteros a partir de los naturales, ver [?].

2. Definiciones Básicas
Supondremos que el lector está familiarizado con la notación de conjunto y además maneja los conceptos de pertenencia, inclusión, unión e intersección.
Sean A y B dosconjuntos, una función de A en B , es una ley que asocia a cada elemento a de A, un
único elemento b de B .
Usamos
la
letra
f
para
indicar
la
función,
o
bien
el
símbolo
f : A −→ B . El elemento b se llama la imagen de a bajo la función f , y será denotada por f (a).
Sea f : A −→ B una función y E un subconjunto de A, entonces la Imagen de E bajo f es el conjunto
f (E ) = {b ∈ B | b = f (c), para algún cen E }.

Es claro que f (E ) es un subconjunto de B .
Sea f : A −→ B una función y G es un subconjunto de B , la imagen inversa de G bajo f es el conjunto
f −1 (G) = {d ∈ A | f (d ) ∈ G}.
Una función f : A −→ B se dice Inyectiva si para todo b en B , f −1 ({b}) posee a lo sumo un elemento.
Observación: Otra forma de definir la inyectividad de una función es la siguiente: Si cada vez que tengamosun par de elementos a y b en A, entonces si estos elementos son diferentes, sus imágenes deben ser
diferentes.
Ejemplo: La función F ::−→, donde denota al conjunto de los números naturales, dada por F (n) = 2n, es
inyectiva. ¿Podría el lector dar una demostración de este hecho?
Sea f : A −→ B una función. Diremos que f es Sobreyectiva si f (A) = B .
Observación: El conjunto imagen de A, se llamatambién el rango de la función. Luego f es sobreyectiva si
su rango es igual al conjunto de llegada.
Ejemplo: La función del ejemplo anterior no es sobreyectiva ¿Porqué?
Ejemplo: Sea g :−→ dada por g (n) = n + 1. Entonces esta función tampoco es sobreyectiva. Sin embargo si
denotamos por al conjunto de los enteros y G : −→ , mediante G(z) = z + 1, entonces G si es una función
sobreyectiva.
Unafunción f : A −→ B se dice biyectiva si f es inyectiva y sobreyectiva.
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Sea A un conjunto cualquiera, una relación en A, es un subconjunto R del producto cartesiano A × A.
Si el par (a, b) está en R, diremos que a está relacionado con b, y lo denotamos por a ∼ b, ó aRb.
Una relación R sobre A, se dice que es de equivalencia, si satisface las tres condiciones
1. Reflexiva
a ∼ a para todo a en A.
2.Simétrica
a ∼ b implica b ∼ a, para todos a y b en A.
3. Transitiva
Si a ∼ b y b ∼ c, entonces a ∼ c, para todos a, b y c en A.
Para cada a en A, el conjunto
[a] = {b ∈ A | b ∼ a}
se llama la clase de equivalencia de a.
Una operación binaria sobre un conjunto A, es una función g : A × A −→ A.
La imagen del elemento (a, b) bajo la función g se denota por a ∗ b.
Ejemplos de operaciones son la suma yproducto de números enteros. También se pueden definir operaciones en forma arbitraria. Por ejemplo, si es el conjunto de números naturales, podemos construir la
operación
∗ : × −→
(a, b) −→ a ∗ b = ab + 1.

3. Propiedades de los Enteros
Nosotros supondremos que el lector está familiarizado con el sistema de los números enteros · · · −
2, −1, 0, 1, 2, 3, . . ., el cual denotaremos por , así como...