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Ejemplos de transformaciones lineales (reflexión, dilatación, contracción, rotación)
Ejemplo 7. (Rotación por un ángulo )

Sea   un ángulo medido en radianes. Queremos averiguar  cual es latransformación  T  de 

  en  que gira cada vector 

 un ángulo , para obtener un vector

En una gráfica, vemos la situación como sigue:
Si usamos las funciones trigonométricas, tenemos que:Distribuyendo y usando el hecho de que 

 y 

          tenemos que:

Por lo tanto, ya descubrimos cómo debe estar definida la transformación

 tal que 

Esta transformación se llama larotación por un ángulo

 y es lineal, ya que:

Ejemplo 8.  (Reflexión sobre el eje x)
En este caso, queremos averiguar como está definida la transformación T de   en que cada vector

 lo reflejasobre el eje x, para obtener un vector 

En una gráfica, vemos la situación como sigue:

 
 
 
En este caso, la situación es más sencilla ya que claramente tenemos dos triángulos rectángulosque son congruentes, de donde  T  queda definida como sigue:

Esta transformación se llama la reflexión sobre el eje x, y es lineal, ya que:

 
Ejemplo 9. (Proyección ortogonal sobre el eje x)
Eneste caso, queremos averiguar como está definida la transformación T de  en que a cada vector

 lo proyecta perpendicularmente sobre el eje x, para obtener un vector 

. En una gráfica, vemosla situación como sigue:

También este caso es sencillo, pues es obvio que  T  queda definida como sigue:

Esta transformación se llama la proyección sobre el eje x, y es lineal, ya que:

Esteúltimo ejemplo tiene más fondo desde el punto de vista de Álgebra Lineal. Consideremos el siguiente subespacio de 

:

Vemos que  éste no es sino el eje x (sobre quien se efectuó la proyección).Ahora bien,

 tiene un complemento directo, a saber,

De tal forma  que cada vector

 se escribe en forma única como suma de un vector de

 más un vector de

  como sigue:

Notamos que...