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BARRERA FLORES MIGUEL ANGEL

DEFINICION FORMAL DE LOS NUMEROS RACIONALES (ℚ)

I) RELACION DE EQUIVALENCIA EN ℤxℤ*. (ℤ* = ℤ−{0})
ℤxℤ* = {(a,b) / a ∈ ℤ ⋀ b ∈ ℤ* }
En ℤxℤ* definimos lasiguiente relación:
(a,b)~(c, d) ↔ad=bc …………(1)
Esta relación es de equivalencia, pues verifica:

Reflexividad.
∀(a,b) ∈ ℤxℤ* →(a,b) ~ (a,b) …. definición de reflexividad→ab = ba……………definición 1.
→ab = ab…………….p. conmutativa
∴ es reflexiva

Simetría.
∀(a,b) ⋀ (c,d) ∈ ℤxℤ*, (a,b) ~ (c,d)→(c,d) ~(a,b)…..definición de simetría
(a,b) ~ (c,d) → ad = bc……….definición 1
→ bc = ad………simetría de la igualdad
→ cb =da………..P. conmutativa
→ (c,d) ~ (a,b)...definición 1.
∴ es simétrico
Transitividad.
∀(a, b), (c, d) y (e, f) ∈ ℤxℤ*:
(a,b) ~ (c,d) ⋀(c,d) ~ (e,f) → (a,b) ~ (e,f)…...definición de transitividad
→ ad=bc ⋀ cf=de………….definición 1
→ (ad).(cf) = (bc).(de)……….multiplicando miembro a miembro
→ (af).(dc) = (be).(cd)………P.asociativa
→ (af).(cd) = (be).(cd)……….P. conmutativa
→ af = be…………………………. ley cancelativa de la multiplicación
→ (a,b) ~ (e,f)…………………….definición 1
∴ es transitiva
II) CLASE DEEQUIVALENCIAS

La clase de equivalencia de un elemento genérico (a,b) es:
[(a,b)] ={(m,k)∈ ℤxℤ*/(m,k)~(a,b)}
Luego se tiene: (m,k) ~ (a,b) → mb = ak → [(a,b)]=
En particular se tiene:

Clase del[(3,2)]:
(m,k)∈ [(3,2)] ↔ (m,k) ~ (3,2) ↔ 2m=3k → m=3k/2
→ [(3,2)] = {….(-3,-2),(3,2),(6,4),.....,(3k/2 , k)} =
Clase del [(1,2)]:
(m,k)∈ [(1,2)] ↔ (m,k) ~ (1,2) ↔ 2m=1k →k=2m
→[(1,2)]={….(-2,-4),(-1,-2),(1,2),(2,4),…(m,2m)}=
Clase del [(0,1)]:
(m,k)∈ [(0,1)] ↔ (m,k) ~ (0,1) ↔ 1m=0k→m=0
→ [(0,1)] = {….(0,-2),(0,-1),(0,1),(0,2),…(0,k)}=

III) CONJUNTO COCIENTE

= {…. [(3,2)] ,...