limites de confianza


¿Qué es una estimación?

Cuando queremos realizar un estudio de una población cualquiera de la que desconocemos sus parámetros, por ejemplo su media poblacional o la probabilidad de éxito si la población sigue una distribución binomial, debemos tomar una muestra aleatoria de dicha población a través de la cual calcular una aproximación a dichos parámetros que desconocemos y queremosestimar. Bien, pues esa aproximación se llama estimación.
Además, junto a esa estimación, y dado que muy probablemente no coincida con el valor real del parámetro, acompañaremos el error aproximado que se comete al realizarla


Estimación puntual

Una estimación puntual del valor de un parámetro poblacional desconocido (como puede ser la media µ , o la desviación estándar σ ), es un número quese utiliza para aproximar el verdadero valor de dicho parámetro poblacional. A fin de realizar tal estimación, tomaremos unamuestra de la población y calcularemos el parámetro muestral asociado ( x para la media, s para la desviación estándar, etc.). El valor de este parámetro muestral será la estimación puntual del parámetro poblacional.

Por ejemplo, supongamos que la compañía Sonytron deseaestimar la edad media de los compradores de equipos de alta fidelidad. Seleccionan una muestra de 100 compradores y calculan la media de esta muestra, este valor será un estimador puntual de la media de la población.


LÍMITES DE CONFIANZA
Los límites de confianza definen un intervalo de valores a cada lado de la media calculada, que describe la probabilidad de encontrar allí la mediaverdadera.
Los límites de confianza para un conjunto de datos se definen con le ecuación:


NtsXCL±=

donde

x es el promedio, s es la desviación estándar de la muestra, N es el tamaño de la muestra y t es la “distribución” t de la tabla siguiente:


No. de mediciones replicadas
90%
2
6.314
3
2.920
4
2.235
5
2.132
6
2.015
7
1.943
8
1.895
9
1.860
101.833

Intervalo de confianza para la media de una población
De una población de media μ y desviación típica σ se pueden tomar muestras de n elementos. Cada una de estas muestras tiene a su vez una media (). Se puede demostrar que la media de todas las medias muestrales coincide con la media poblacional:2 
Pero además, si el tamaño de las muestras es lo suficientemente grande,3 la distribuciónde medias muestrales es, prácticamente, unadistribución normal (o gaussiana) con media μ y una desviación típica dada por la siguiente expresión: . Esto se representa como sigue: . Si estandarizamos, se sigue que: 
En una distribución Z ~ N(0, 1) puede calcularse fácilmente un intervalo dentro del cual caigan un determinado porcentaje de las observaciones, esto es, es sencillohallar z1 y z2 tales que P[z1 ≤ z ≤ z2] = 1 - α, donde (1 - α)·100 es el porcentaje deseado (véase el uso de las tablas en una distribución normal).
Se desea obtener una expresión tal que 
En esta distribución normal de medias se puede calcular el intervalo de confianza donde se encontrará la media poblacional si sólo se conoce una media muestral (), con una confianza determinada. Habitualmente se manejan valores deconfianza del 95 y del 99 por ciento. A este valor se le llamará 1 − α (debido a que α es el error que se cometerá, un término opuesto).
Para ello se necesita calcular el punto Xα / 2 —o, mejor dicho, su versión estandarizada Zα / 2 o valor crítico— junto con su "opuesto en la distribución" X − α / 2. Estos puntos delimitan la probabilidad para el intervalo, como se muestra en la siguienteimagen:

Dicho punto es el número tal que:

Y en la versión estandarizada se cumple que:
z − α / 2 = − zα / 2
Así:

Haciendo operaciones es posible despejar μ para obtener el intervalo:

De lo cual se obtendrá el intervalo de confianza:

Obsérvese que el intervalo de confianza viene dado por la media muestral  ± el producto del valor crítico Zα / 2 por el error estándar .
Si no se...