Limites De Funciones

2. LÍMITES DE FUNCIONES

2.1

INTRODUCCION

El concepto de límite de una función surge del siguiente problema. Si y = f(x) está definida
en un dominio D, x0 ∈ D, si x comienza a acercarse a x0 ¿ a cuál número comienza a
acercarse y = f(x)?
Para contestar la pregunta basta considerar a y = f(x) definida solo en las inmediaciones
de x0, es decir, para valores de x muy próximos a x0, estoes

para valores de x

pertenecientes a una vecindad (v(x0)) de x0. Puesto que x sólo se acerca a x0, no interesa
lo que ocurre justo en

x = x0.

La expresión “ x se acerca a x0” también se expresa diciendo: x tiende a x0, y se simboliza:
x → x0.
El problema anterior quedaría enunciado: si y = f(x) está definida en D, x0 ∈ D, si
x → x0. ¿ f(x) ?
Hay dos maneras de acercarse a x0 :por el lado izquierdo, es decir, por valores menores
que x0, y por el lado derecho o por valores mayores que x0.
Estas dos formas de acercarse a x0 puede llevar a resultados distintos.

analicemos los siguientes ejemplos:

Ejemplo 1. Con la gráfica y una tabla de valores
¿Qué le sucede a f(x) = x2 + 3 cuando x se acerca a 3?
Resolución:

Figura 2.1.1

f (x) = x 2 + 3

La figura 2.1.1corresponde a la gráfica de esta función.
En ella podemos ver que entre más cerca se encuentren de 3 los valores de x, entonces
los valores de f(x) se encuentran más cercanos a 12.
La tabla 2.1.1 de valores refuerza esa percepción gráfica

Tabla 2.1.1

Hacia 3 por la izquierda

3

Hacia 3 por la derecha

x

2,5

2,9

2,99

2,999

3,001

3,01

3,1

3,5

f(x)

9,511,41

11,9401

11,994001

12,006001

12,0601

12,61

15,25

Hacia 12 por la izquierda

12

Hacia 12 por la derecha

Podemos ver que a medida que tomamos valores de x más próximos a 3, tanto para
valores mayores que tres como para valores menores que 3, los valores de f(x) se
aproximan a 12.

Ejemplo 2. Con la gráfica y una tabla de valores

Si f(x) =

x2 − 4
, ¿aqué valor se aproxima f(x) si x se aproxima a 2?
x−2

Resolución: Aquí tenemos la gráfica de esa función.

Figura 2.1.2

Podemos ver que, aún cuando la gráfica presenta una ruptura (hueco) en el punto (2,4),
las imágenes de valores de x muy cercanos a 2 son muy cercanas a 4. También una tabla
de valores utilizando valores de x próximos a 2 tanto por la izquierda (menores que 2)
como por laderecha (mayores que 2), nos convence de esa situación.

Tabla 2.1.2

Hacia 2 por la izquierda

2

Hacia 2 por la derecha

x

1,5

1,9

1,99

1,999

2,001

2,01

2,1

2,5

f(x)

3,5

3,9

3,99

3,999

4,001

4,01

4,1

4,5

Hacia 4 por la izquierda

4

Hacia 4 por la derecha

Así, de la tabla 2.1.2 deducimos que los valores de f(x) se aproximan a4 cuando los
valores de x se aproximan a 2.

Ejemplo 3. Consideremos ahora la función g(x) =

x
x

.

Figura 2.1.3

En su gráfica vemos que por la derecha de 0 las imágenes son 1, mientras que por la
izquierda de 0 las imágenes son -1, la gráfica presenta un "salto" y entonces las imágenes
no se acercan a un mismo valor. Podemos ver que el límite no existe.
Hagamos una tabla comolas de los ejemplos anteriores para verlo de otra manera.

Tabla 2.1.3

0

Hacia 0 por la izquierda

Hacia 0 por la derecha

x

-0,5

-0,1

-0,01

-0,001

0,001

0,01

0,1

0,5

g(x)

-1

-1

-1

-1

1

1

1

1

Hacia -1 por la izquierda

1|-1

Hacia 1 por la derecha

Este caso difiere de los anteriores porque si tomamos valores de x por laizquierda de 0
entonces g(x) se hace -1, pero al tomar valores por la derecha de 0 entonces g(x) se hace
1. Esto es: la tendencia difiere según el lado en que tomemos los valores.

Ejemplo 4. Crecimiento ilimitado

Ahora hagamos lo mismo para f(x) =

1
, para valores de x cercanos a 0.
x

Figura 2.1.4

En la figura 2.1.4 vemos que a medida que nos acercamos a 0 por la derecha, la...