Logica y conjuntos

Demostraciones a ejercicios propuestos
Prof. Luis Pineda

Última actualización: Febrero, 2.012

1
1.1

(1)

Demostrar A ⊆ B ↔ A − B = ∅
Demostrar

A⊆B →A−B =∅

Asumimos que A ⊆ B es verdadero
equivale a decir que para todos los elementos se cumple que si un elemento está en A
entonces está en B . Por denición del operador implicación y por propiedad de los cuanticadoreslógicos, esto es lo mismo que decir que no existen elementos que estén en A y que no estén en B .

(2) A ⊆ B

(3)

El conjunto A − B es el conjunto de todos los elementos que están en A y no están en B .

(4)

Por (2) y (3) sabemos que A−B está vacío, ya que no existen elementos que cumplan la proposición
que lo dene. Por lo tanto al asumir A ⊆ B verdadero deducimos que A − B = ∅ también loes

1.2

Demostrar

A−B =∅→A⊆B

(1)

Asumimos que A − B = ∅ es verdadero

(2)

El conjunto A − B es el conjunto de todos los elementos que están en A y no están en B .

(3)

Por (1) y (2) sabemos que no existen elementos que están en A y que no están en B , ya que el
conjunto de todos los elementos que cumplen esa proposición es vacío.

(4)

La proposición (3) es equivalentea decir que decir que para todos los elementos se cumple que si
un elemento está en A entonces está en B (def. del op. implicación y propiedad de los cuantif.
lóg.). Esto equivale a decir que A ⊆ B . Por lo tanto al asumir A − B = ∅ verdadero llegamos a
la conclusión que A ⊆ B también lo es

2

Demostrar A − (A − B) = A ∩ B
A. − (A − B)

=

A ∩ (A − B)

(denición de diferencia deconjuntos)

= A∩ A∩B

(denición de diferencia de conjuntos)

= A∩ A∪B

(ley de DeMorgan)

=

A ∩ A ∪ (A ∩ B)

(propiedad distributiva)

(1)

De las igualdades mostradas arribas podemos concluir que A − (A − B) = A ∩ A ∪ (A ∩ B).

(2)

Para todo conjunto A, se cumple que A ∩ A = ∅ (propiedad de la interesección). Por lo tanto,
A ∩ A ∪ (A ∩ B) = ∅ ∪ (A ∩ B).
1

(3)

Paratodo conjunto A, se cumple que ∅ ∪ A = A (propiedad de la unión). Por lo tanto, A ∩ A ∪
(A ∩ B) = ∅ ∪ (A ∩ B) = A ∩ B .

(4)

Por (1) y (3) podemos concluir que A − (A − B) = A ∩ B

3

Demostrar A ∩ (B − C) = (A ∩ B) − (A ∩ C)

Esta proposición es más fácil de demostrar si se empieza por el lado derecho:
(A ∩ B) − (A ∩ C)

=
=
=
=
=
=
=
=
=

(denición de diferencia deconjuntos)
(ley de DeMorgan)
(A ∩ B) ∩ A ∪ C
(A ∩ B) ∩ A ∪ (A ∩ B) ∩ C
(propiedad distributiva)
(propiedad asociativa)
A ∩ A ∩ B ∪ (A ∩ B) ∩ C
(∅ ∩ B) ∪ (A ∩ B) ∩ C
(debido a que para todo A, A ∩ A = ∅)
(debido a que para todo A, A ∩ ∅ = ∅)
∅ ∪ (A ∩ B) ∩ C
(A ∩ B) ∩ C
(debido a que para todo A, A ∪ ∅ = A)
A∩ B∩C
(propiedad asociativa de la intersección)
= A ∩ (B − C)
(denición dediferencia de conjuntos)
(A ∩ B) ∩ (A ∩ C)

Estas igualdades demuestran que A ∩ (B − C) = (A ∩ B) − (A ∩ C)

4

Demostrar A ∩ B ⊆ (A ∩ C) ∪ B ∩ C

Esta demostración requiere demostrar previamente que A ⊆ B → A ∪ C ⊆ B ∪ C . La demostración se
ofrece en la sección 4.1.
Sea U el conjunto universal. Entonces podemos reescribir A ∩ B como:
A∩B

= (A ∩ B) ∩ U
(debido a que para todo conjuntoA, A ∩ U = A)
= (A ∩ B) ∩ C ∪ C
(debido a que para todo conjunto A, A ∪ A = U )
=

((A ∩ B) ∩ C) ∪ (A ∩ B) ∩ C

=

((A ∩ C) ∩ B) ∪

B∩C ∩A

(propiedad distributiva)
(propiedad asociativa)

(1)

De las igualdades mostradas arribas tenemos que A ∩ B = ((A ∩ C) ∩ B) ∪

(2)

Por propiedad de la intersección A ∩ B ⊆ A deducimos que (A ∩ C) ∩ B ⊆ A ∩ C

(3)

Por propiedad dela intersección A ∩ B ⊆ A deducimos que B ∩ C ∩ A ⊆ B ∩ C

(4)

Por (2) y por la propiedad demostrada en 4.1 deducimos que ((A ∩ C) ∩ B) ∪
(A ∩ C) ∪

(5)

B∩C ∩A

B∩C ∩A ⊆

B∩C ∩A

Por (3) y por la propiedad demostrada en 4.1 deducimos que (A ∩ C)∪ B ∩ C ∩ A ⊆ (A ∩ C)∪
B∩C

(6)

Por (4), (5) y por transitividad de la inclusión tenemos que ((A ∩ C) ∩ B) ∪
(A ∩ C) ∪ B ∩ C...