Long curva

LONGITUD DE CURVAS O LONGITUD DE ARCO

En ocasiones se requiere calcular la distancia a lo largo de una trayectoria curva y es ahí en donde se utiliza el poder del cálculo, que va más allá de lasimple aritmética y álgebra.
Es necesario recordar la formula de la distancia, en línea recta, entre 2 puntos, P1(x1, y1) y P2(x2, y2) que es:
P1P2= (x2-x1)2+(y2-y1)2

| | | | | | | | || |
P1(0,9) y P2(5,4) d=(5-0)2+(4-9)2 = 25+25 = 50 ≈7.0710678

Considerando el concepto de pendiente de una recta podemos obtener aproximaciones cada vez mas exactas de la longitud de la curvaentre los dos puntos mencionados.

P1(0,9) y Pa(1,4) d1=(1-0)2+(4-9)2 = 1+25 = 26 ≈ 5.099
Pa(1,4) y Pb(2,1) d2=(2-1)2+(1-4)2 = 1+9 = 10 ≈3.162
Pb(2,1) y Pc(3,0) d3=(2-3)2+(0-1)2 = 1+1 = 2≈1.414
Pc(3,0) y Pd(4,1) d4=(4-3)2+(1-0)2 = 1+1 = 2 ≈1.414
Pd(4,1) y P2(5,4) d5=(5-4)2+(4-1)2 = 1+9 = 10 ≈3.162

dp1p2 = d1 + d2 + d3 + d4 + d5 = 14.251
Entre más segmentos, más cerca estaremosde obtener la longitud de arco o curva, este proceso es laborioso, se facilita con el desarrollo de la integral definida aplicada a la longitud de arco o longitud de curva. La noción de longitud de unsegmento a la longitud de una curva, con estimaciones rectilíneas, luego utilizar el mayor numero de segmentos posibles sobre la curva y entre más segmentos utilicemos, mayor será la aproximación queobtengamos de la longitud exacta de la curva.

LONGITUD DE ARCO
En los ejercicios anteriores las funciones dadas, dan las graficas de curvas “suaves” en los intervalos indicados, que son funcionescuya derivada es continua en sus intervalos.
Para calcular la longitud aproximada de un arco “suave”, utilizamos una poligonal abierta, como en la figura anterior, formada por dos segmentos de rectade diferente longitud.
Considerando que C es una curva suave de f en un intervalo [a, b], para toda i=1,2,3…n, ahora determinar un par de puntos adyacentes sobre la curva de la siguiente manera...