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3. Fundamentos matemáticos del estudio

Capítulo 3. Fundamentos matemáticos del
estudio

3.1 Ecuación de Darcy
La ley de Darcy es el pilar fundamental de la hidrología subterránea. Es una ley
experimental obtenida por el ingeniero francés Henry Darcy en 1856 trabajando con
medios homogéneos porosos y con un solo fluido. Lo que obtuvo fue que el caudal que
atravesaba un permeámetro9 eralinealmente proporcional a la sección y al gradiente
hidráulico.
Q = cte. · Sección ·

dh
dl

(3.1)

Darcy observó que esta constante era distinta para cada tipo de arena y concluyó que era
propia y característica de cada arena y la llamó permeabilidad o más correctamente
conductividad hidráulica.
En realidad K depende no solamente del medio sino también de la densidad y la viscosidaddel fluido [Hubbert, 1956], pero su influencia, es despreciable en aguas subterráneas,
excepto en puntos próximos a la costa.

Actualmente expresamos la ley de Darcy del siguiente modo:

q = − K ∇h

(3.2)

donde:
q es Q / sección; (es decir, el caudal que circula por m2 de sección) y se denomina

“velocidad de Darcy” o “velocidad de flujo”. La velocidad real del agua es la velocidad deDarcy dividida entre la porosidad eficaz.

9

Un permeámetro es un recipiente de sección constante por el que se hace circular agua conectando a uno de
sus extremos un depósito elevado de nivel constante. En el otro extremo se regula el caudal de salida
mediante un grifo que mantiene el caudal constante. Finalmente se mide la altura de la columna de agua en
varios puntos.

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∇h es el gradiente hidráulico

K es el tensor de conductividad hidráulica (es un tensor simétrico definido positivo)

El signo menos se debe a que el caudal es una magnitud vectorial, cuya dirección es hacia
los ∆h decrecientes; es decir, que ∆h o dh es negativo y por tanto, el caudal será positivo.

3.2 Ecuación de flujo
La ecuación de flujo sededuce de imponer la conservación de la masa de agua sobre un
volumen de acuífero. Es decir, la variación de la masa de agua almacenada por unidad de
volumen de acuífero es igual a las entradas menos las salidas de agua, más o menos el
intercambio de agua con el exterior. Matemáticamente esto lo expresaremos de la forma
siguiente:

∂ ( ρφ )
= −∇ ⋅ ( ρ q ) + ρ r
∂t

(3.3).

donde:
ρ es ladensidad del agua
φ es la porosidad del acuífero
r representa los términos fuente / sumidero
q es el flujo de agua

Además, por un lado el movimiento del agua obedece la ley Darcy (3.2), y por otro lado se
suele aproximar la variación de la masa de agua almacenada por unidad de volumen de
acuífero del modo siguiente:

∂ ( ρφ )
∂h
= ρ Ss
∂t
∂t

(3.4)

donde:
Ss es elalmacenamiento específico (volumen de agua extraído por unidad de volumen de
acuífero y por unidad de descenso de nivel).
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Sustituyendo esta última ecuación y la (3.2) en la expresión de la conservación de la masa,
y despreciando las variaciones espaciales de la densidad se obtiene la forma corriente de la
ecuación de flujo:

Ss

∂h
= ∇ ( K ∇h ) + r∂t

(3.5)

Para un medio bidimensional, utilizaremos la transmisividad T e introducimos el concepto
de coeficiente de almacenamiento (S):

S

∂h
= ∇ ( T ∇h ) + r '
∂t

(3.6)

3.3 Ecuación de transporte
La ecuación de transporte proviene de suponer la conservación de la masa sobre el soluto:

∂ (φ c )
= −∇ ⋅ j + f
∂t

(3.7)

donde:
c es la concentración del soluto
f es eltérmino fuente /sumidero
j es el flujo de masa, que puede tener lugar por difusión, dispersión y advección

El flujo de masa es:
j = jd + ja + jm

(3.8)

donde:
jd es el flujo debido a la difusión molecular
jm es el flujo debido a la dispersión mecánica
ja es el flujo debido a la advección

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La difusión molecular viene dada por la...