Los Numeros Reales

Capítulo I
Los Números Reales

Temario de la clase
Máximo Común Divisor y Mínimo Común Múltiplo (Números Naturales)
Números Enteros
Valor Absoluto
Operaciones (Regla de los Signos Aplicando valor Absoluto)
Adición, Sustracción, Multiplicación y División
Ejercicios Combinados con Paréntesis y Prioridad de las Operaciones
Ejercicios

Máximo Común Divisor.
Tal y como lo indica sunombre, el máximo común divisor (MCD) de dos o más números naturales es el
mayor divisor⁽*⁾ común de dichos números. Su principal utilidad está en la simplificación de fracciones
y cálculo del mínimo común múltiplo. Presentamos dos métodos para calcular el MCD:

a) Por descomposición de factores primos

b) Mediante el algoritmo de Euclides (algoritmo son pasos para solucionar un problema)

⁽*⁾Un divisor de un número es aquel que lo divide en partes exactas
Ejemplo: 3 es divisor de 12 ya que 12 / 3 = 4 (resultado exacto, sin decimales)

a) Por descomposición de factores primos
Un número primo es aquel número natural que sólo es divisible por sí mismo y por 1. Los demás
números naturales se denominan números compuestos y tienen algún otro divisor natural aparte de sí
mismos y del1, por ejemplo el 6 que se divide por 1, 2, 3 y 6.
En matemática, el concepto de números primos es de gran relevancia ya que el Teorema (*)
Fundamental de la Aritmética o Teorema de Factorización Única afirma que todo entero positivo se
puede representar de forma única como producto de factores primos.
Ejemplo: 3.420 = 22 * 32 * 5 * 19
Los números primos menores a 100 son: 2, 3, 5, 7, 11,13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67,
71, 73, 79, 83, 89 y 97.
(*) Un teorema es una proposición que para ser evidente necesita demostración, como por ejemplo el Teorema de
Pitágoras.

Técnica:
- Se descomponen los números en factores primos.
- Se toman los factores comunes con menor exponente y se multiplican entre sí.
Ejemplo: Encontrar el MCD de 72, 108 y 60.

72 = 2³* 3²
108 = 2² * 3³
60 = 2² * 3 * 5
Factores comunes con menor exponente: 2² * 3 = 4 * 3 = 12
Luego, MCD (72, 108, 60) = 12, es decir, es el mayor número en común que divide a
72, 108 y 60
En la práctica, este método es operativo para números relativamente pequeños.

b) Mediante el algoritmo de Euclides

Un algoritmo es una serie de pasos organizados que describe el proceso que se debeseguir, para dar
solución a un problema específico.
Técnica:
Se divide el número mayor entre el menor. Si:
a) La división es exacta, el divisor (número menor) es el MCD
b) La división no es exacta, dividimos el divisor entre el resto obtenido y se continúa de esta forma
hasta obtener una división exacta, siendo el último divisor el MCD.
Ejemplo:
MCD (72, 16)

72 : 16 =4
8

16 : 8 = 2“0”

último divisor 8, es el MCD

Esta técnica nos permite calcular fácilmente el mínimo común múltiplo (MCM).

Mínimo Común Múltiplo.
Tal y como lo indica su nombre, el mínimo común múltiplo (o MCM) de dos o más números naturales es
el menor múltiplo ⁽*⁾ en común de aquellos números, excluido el cero.

Para calcularlo se pueden utilizar las técnicas de descomposición en factoresprimos o el algoritmo de
Euclides para encontrar el MCD más un sencillo paso adicional.

⁽*⁾ Múltiplo de un número es aquel que se obtiene al multiplicar ese número por otro cualquiera
Ejemplo: 12 es un múltiplo de 4 ya que 4 * 3 = 12

a) Descomposición en factores primos
Técnica:
- Se descomponen los números en factores primos.
- Se toman los factores comunes y no comunes con mayor exponentey se multiplican entre sí.
Ejemplo: Encontrar el MCM de 72 y 16.

72 = 2³ * 3²
16 = 2⁴
Factores comunes y no comunes con mayor exponente: 2⁴ * 3² = 144
Luego, MCM (72, 16) = 144, es decir, es el múltiplo en común de menor valor de los números
72 y 16 es 144

b) Mediante el algoritmo de Euclides
Técnica:
- Primero se debe encontrar el MCD.
- Posteriormente se multiplican estos...