Los números naturales

TEMAS DE MATEMÁTICAS (Oposiciones de Secundaria) TEMA 1
EL NÚMERO NATURAL. SISTEMAS DE NUMERACIÓN.

1. Introducción. 2. Construcción de Ð. 2.1. Definición Axiomática. 2.2. Forma Constructiva. 3. Adición de Números Naturales. 3.1. Definición. 3.2. Propiedades. 3.2.1. Asociativa. 3.2.2. Existencia de Elemento Neutro. 3.2.3. Conmutativa. 4. Producto de Números Naturales. 4.1. Definición. 4.2.Propiedades. 4.2.1. Distributiva del Producto respecto de la Adición. 4.2.2. Existencia de Elemento Absorbente. 4.2.3. Existencia de Elemento Neutro. 4.2.4. Conmutativa. 4.2.5. Asociativa. 4.3. Conclusiones. 5. Orden en Ð. 6. Otras propiedades de Ð. 7. Conjuntos Finitos. 8. División Euclídea. 9. Sistemas de Numeración. 9.1. Cambio de sistemas de numeración. Bibliografía.

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TEMA 1 EL NÚMERONATURAL. SISTEMAS DE NUMERACIÓN. 1. INTRODUCCIÓN. Los números naturales aparecen debido a la necesidad que tiene el hombre de contar. Un número cualquiera como el “5” es una abstracción, es una determinada propiedad de algunos conjuntos. Podemos construir los números naturales de dos maneras: a) Desde el punto de vista axiomático. b) De manera constructiva, con ayuda de la Teoría de Conjuntos. 2.CONSTRUCCIÓN DE Ð . 2.1. Definición Axiomática. Construimos Ð con un número infinito de elementos, todos ellos distintos, llamados números naturales. Ð={0, 1, 2, 3, 4,…} Cada uno de los símbolos anteriores, excepto el que figura en primer lugar, es el siguiente de aquel que le precede. Se verifican los siguientes axiomas, llamados postulados de Peano: Axioma 1: 0∈Ð Axioma 2: A cada número a∈Ð sele asigna un siguiente s(a)=a* que también es natural y se verifica: ∀a; a∈Ð ⇒ ∃S(a)∈Ð / ∀a; a∈Ð ∧ ∀b; b∈Ð, si a=b ⇒ S(a)=S(b) Axioma 3: No existe ningún natural cuyo siguiente sea el 0. ∀a; a∈Ð ⇒ S(a)≠0 Axioma 4: ∀a, b∈Ð S(a)=S(b) ⇒ a=b Axioma 5 (de inducción matemática o inducción completa): ∀K, K⊂Ð / 0∈K y ∀a, a∈K ⇒ S(a)∈K ⇒ K=Ð También es posible establecer el uno “1” como primer númeronatural, siendo la construcción la misma.

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PROPIEDADES 1) ∀a, b∈Ð, si a≠b ⇒ a*≠b* 2) ∀a∈Ð ⇒ a≠a* (axioma 4) (axioma 5)

Construimos K={a / a∈Ð y a≠a*} Veamos que K⊂Ð. Por el axioma 3: 0∈K. Supongamos que a∈K ⇒ a*≠(a*)* ⇒ a*∈K ⇒ K∈Ð 3) ∀a∈Ð y a≠0 ⇒ ∃b∈Ð / a=b* Construimos K={0}∪{a∈Ð; ∃b∈Ð ∩ a=b*} K≠0, ya que 0∈K. Supongamos a∈K, como K contiene todos los siguientes, a*∈K ⇒ K=Ð 2.2. FormaConstructiva. DEF Si K es un conjunto, llamamos siguiente de K al conjunto K*=K∪{K} A partir de este momento designaremos al conjunto ∅ por el símbolo 0. ∅=0 0* = 0∪{0} = {0} = 1 1* = 1∪{1} = {0, 1} = 2 2* = 2∪{2} = {0, 1}∪{2} = 3 … Hemos de asegurarnos de que este proceso puede continuar de forma indefinida y que llegamos a obtener un determinado conjunto “infinito”. Para ello necesitamos el Axiomadel Infinito. AXIOMA DEL INFINITO Existe al menos un conjunto K0 que cumple: a) 0∈K0 b) a∈K0 ⇒ a*∈K0 (Decimos que K0 es recurrente) Sea ahora K la familia de todos los conjuntos que verifican el axioma anterior (conjuntos recurrentes) y llamamos Ð=∩K con K∈K. Ð es no vacío, ya que al menos existe un conjunto recurrente. Ð es recurrente (es trivial su comprobación).
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Ð es el conjuntorecurrente más pequeño, ya que si K es un conjunto recurrente, por definición de Ð se tiene que verificar que N⊂K. El conjunto Ð definido anteriormente verifica los axiomas de Peano vistos anteriormente. Por la construcción de Ð, los axiomas 1, 2 y 5 son evidentes. El axioma 3 se verifica si tenemos en cuenta que n*=n∪{n}=∅, entonces {n}=∅ y de aquí n∈∅, lo que no tiene sentido. Para poder comprobar elaxioma 4 necesitamos de unos resultados previos: DEF Un conjunto K es Transitivo ⇔ ∀a (a∈K ⇒ a⊂K) LEMA Todo número natural es transitivo dem. Vamos a realizar la demostración por inducción. Llamamos C={n∈Ð / n es transitivo} 1) 0∈C, porque 0 es vacío y se cumple la condición por vacuidad. 2) Supongamos que n∈C, entonces m∈n* ⇒ m∈n ⇒ m⊂n⊂n* ⇒ m⊂n* m=n ⇒ m=n⊂n* ⇒ m⊂n* n*∈C ⇒ C=Ð

c.q.d....