Los trabajos importantes

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Sean l1 y l2 dos rectas no verticales, cuyos ángulos de inclinación son 1 y 2 respectivamente. Al cortarse las rectas l1 y l2 forman cuatro ángulos iguales de dos en dos (fig. 4.14.), esto es:1 = 2 = 1 – 2 y 1 = 2 = 1800 - 1.
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Se define el ANGULO entrel1 y l2 como
el ángulo positivo obtenido al rotar la recta l2 hacia l1 .
Eneste caso, el ángulo entre l1 y l2 viene dado por:
b1 = q1 - q2 (1)
Fig. 4.14
El propósito ahora es establecer una relación entre las pendientes de dos rectas y elángulo entre ellas.
De la igualdad (1) se tiene:
tan b1 = tan (q1 - q2)
, (2)

También,
cot b1 = cot (q1 - q2)
, (3)

Puesto que m1=tan q1 y m2=tan q2 , entonces las igualdades(2) y (3) podemos escribirlas en la forma:
tan b1 , (2)’


y cot b1 , (3)’

Las ecuaciones (2)’ y (3)’ expresan la tangente y la cotangente del ángulo b1, entre las rectas l1 y l2en términos de sus pendientes y por medio de ellas se pueden establecer criterios de perpendicularidad y paralelismo entre rectas, como la afirma el siguiente teorema.

TEOREMA (Condiciones dePerpendicularidad y Paralelismo)
Sean l1 y l2 dos rectas no verticales con pendientes m1 y m2 respectivamente. Entonces:
i) l1 es paralela a l2 (l1 || l2) m1 = m2
ii) l1 es perpendicular a l2(l1 l2) m1 . m2 = -1
Demostración
En la fig. 4.15. aparece ilustrada cada una de las situaciones

fig. 4.15.
i. Suponga que l1 || l2 y vea que m1 = m2.
En efecto, como l1 ||l2, entonceslos ángulos q1 y q2 son iguales por correspondientes y en consecuencia tanq1 = tanq2, es decir, m1 = m2 .
Ahora, si m1= m2 , se sigue de (2)’ que tanb1 = 0, y de aquí, b1 = q1 - q2 = 0, de dondeq1 = q2 y por lo tanto l1 y l2 son paralelas.
ii. Si l1 y l2 son perpendiculares, entonces y cot b1 = cot Sustituyendo
este último valor en (3)’ obtenemos: 0 , de donde m1. m2 + 1 = 0, y...