LU Vieitez

Descomposici´
on LU de matrices
Jos´e L. Vieitez
IMERL, Facultad de Ingenier´ıa,
Universidad de la Rep´
ublica
23 de agosto de 2006
Abstract
Descomposici´on LU de una matriz A = (aij ), i, j = 1, . . . , n.

1

Hechos b´
asicos

Para escalerizar la matriz A = ((ai,j )), n × n, por el m´etodo de Gauss se usan 3
operaciones elementales:
1. Intercambio de las filas i y j, Ai con Aj :
equivale amultiplicar a la izquierda la matriz A por la matriz n × n, Pi,j ,
obtenida de la identidad In intercambiando las filas i y j.
2. Multiplicaci´on de la fila Ai por el n´
umero k = 0:
equivale a multiplicar a la izquierda la matriz A por la matriz n × n, In +
(k − 1)Ei,i , donde Ei,j denota la matriz que tiene todas las entradas nulas
menos la (i, j) que vale 1.
3. Suma a la fila Aj de la fila Ai , i =j, multiplicada por el n´
umero λ:
equivale a multiplicar a la izquierda la matriz A por la matriz n×n, In +λEj,i .
Observaci´
on 1.0.1. Si se hace la multiplicaci´
on a derecha por la matriz correspondiente se intercambian las columnas, se multiplica una columna por un n´
umero o
se suma a una columna un m´
ultiplo de otra.
En el proceso de escalerizaci´on puede no ser preciso cambiar filas delugar, pero si
fuera necesario hacerlo, una observaci´
on importante es que se puede suponer que
el intercambio se ha realizado todo al comienzo de la escalerizaci´on. Esto es as´ı
porque en el M´etodo de Escalerizaci´on de Gauss el intercambio de filas se hace en

1

el momento de elegir un pivot. Si denotamos por A(h) a la matriz obtenida tras h
pasos de escalerizaci´on, y esa matriz es de laforma:


b1,1 b1,2
···
···
b1,n
 0
b2,2
···
···
b2,n 


 0
0
b3,3 · · · · · ·
b3,n 


 ··· ···
···
···
··· 


(h)
A =  0 0···
· · · bj,j
···
bj,n 


 0 0··· ···b

·
·
·
b
j+1,j
j+1,n


 .

..
..
..
..
 ..

.
.
.
.
0 0···
· · · bn,j · · ·
bn,n
Entonces el pivoteo (parcial) implica la b´
usqueda de un elemento bt,j , t = j, . . . , n,
no nulo y de m´odulo m´aximo paradisminuir los errores num´ericos que se introducen
en las operaciones (si no se tiene en cuenta esto, casi que lo u
´nico que interesa es
que bt,j = 0). Pero esto afecta solo a las filas que en ese momento ocupan
los lugares entre j y n. Por tanto aquellas filas que ya fueron pivot no aparecen
en posibles intercambios: si intercambio al comienzo la fila 1 con la 4 y luego la
fila 3 con la 4 (que era lavieja fila 1), equivale a hacer de una vez: la fila 1 al lugar
de la fila 3, la fila 3 a la fila 4 y la fila 4 a la fila 1. Se puede entonces suponer que
al comienzo un ”gnomo” u or´aculo nos dijo c´omo conven´ıa intercambiar las filas y
hacerlo desde el comienzo.
Si hacemos esto, en lugar de escalerizar A escalerizamos P A donde P es una matriz que intercambia las filas de A (una matriz depermutaci´
on). la matriz P es
andole esa permutaci´
on a las
simplemente la que se obtiene de la identidad In aplic´
filas.

2

Descomposici´
on LU sin intercambio de filas

Supongamos entonces por el momento que no precisamos alterar el orden entre
las filas de A y que el rango de A es n (o sea, A es no singular). Observamos lo
siguiente:
al comienzo de la escalerizaci´on a cada fila A2 , . . . , An lesumamos la primera fila
A1 multiplicada por −l2,1 , . . . , −ln,1 respectivamente, donde lj,1 = aj,1 /a1,1 .

2

Denotando por L−1
j,1 a la matriz


L−1
j,1






=






0
···
0
0
···
0 

···
··· ··· 

···1 0··· 0 

···
··· ··· 

..
..
.. 
.
.
. 
··· ···0 1

1
0
0
1
··· ···
−lj1 0
0
···
..
..
.
.
0
···

se ve f´acilmente que su inversa Lj,1 se obtiene simplemente cambiandoel signo de
la entrada (j, 1) (¡multiplique ambas matrices!):


1
0
0
···
0
 0
1
0
···
0 


 ··· ··· ···
·
·
·
·
·· 


 lj1 0 · · · 1 0 · · · 0 
Lj,1 = 

 0 ··· ···
··· ··· 


 .
..
..
..
.. 
 ..
.
.
.
. 
0

···

···

···0

1

La matriz A(1) que tiene todas las entradas en la primera columna iguales a 0,
excepto la entrada (1, 1) que vale a1,1 , se escribe:
−1
−1 −1
(1)...