lugar de progeso

Teoría del Consumidor
El Problema del Consumidor

Preferencias y funciones de utilidad
• Los axiomas A1, A2 y A4 implican que existe
una función de utilidad continua u: ℜ2+ → ℜ que
representa las preferencias del consumidor.
• El axioma A3 implica que la función u(x,y) es no
decreciente en x y no decreciente en y; además
es creciente en (x,y).
• El axioma A5 implica que u es cóncava.Ejemplos
Los bienes x e y son complementarios y sustitutivos
imperfectos.
y

u(x,y)=xαyβ

x

Ejemplos
Los bienes x e y son sustitutivos perfectos

y

u(x,y)=αx+βy

x

Ejemplos
Los bienes x e y son complementarios perfectos.
y

u(x,y)=min{αx,βy}

x

Relación Marginal de Sustitución (RMS)
Definimos la RMS(x,y) como el valor absoluto de la
pendiente de la rectatangente a la curva de indiferencia en
el punto (x,y).
y

RMS(x,y) = 1/2

x

Relación Marginal de Sustitución (RMS)
Conceptualmente, la RMS(x,y) es la cantidad de
bien y que hay que dar al consumidor para
compensarle por renunciar a consumir una unidad
(infinitesimal) de x, de manera que el consumidor
mantenga el bienestar que tiene cuando consume
la cesta (x,y).
Es decir, la RMS(x,y)es el valor que el consumidor
que tiene la cesta (x,y) atribuye a una unidad
(infinitesimal) del bien x, expresado en unidades
del bien y.

Ejemplos
1. u(x,y) = xy
Sea (x,y) una cesta de bienes cualquiera; denotemos xy =
u* el nivel de utilidad
u* = xy → y =f(x) = u*/x.
Por tanto,
f’(x) = -u*/x2.
Sustituyendo u*=xy obtenemos
RMS(x,y) = |-xy/x2| = y/x.
Si evaluamos la RMS en la cesta(2,1), tenemos
RMS(2,1) = 1/2.

Ejemplos
y

RMS = |pte| = 1/2

x

Ejemplos
2. u(x,y) = 2x + y
Sea (x,y) una cesta de bienes cualquiera; denotemos
el nivel de utilidad como 2x + y = u*
u* = 2x + y → y = f(x) = u* - 2x.
Por tanto,
RMS(x,y) = |f’(x)| = 2.
En este caso la RMS es una constante.

Ejemplos
3. Los bienes x e y son sustitutivos perfectos
y
4

2

0

1

2x

Ejemplos
3. u(x,y) = min{x,2y}
La función de utilidad no es derivable en los
puntos (x,y) tales que x ≤ 2y. Para estos
puntos la RMS no está definida.
En los puntos (x,y) tales que x > 2y, tenemos
RMS(x,y)=0.

Ejemplos
3. RMS(x,y) = 0 si y < x/2 y RMS(x,y) está indefinida si y ≥
x/2.
y

u(x,y)=min{x,2y}

y = x/2

x

La RMS como ratio de utilidades marginales
Podemosencontrar una fórmula para calcular la RMS(x,y)
sin necesidad de obtener la función y = f(x) que define la curva
de indiferencia.
Para calcular RMS(x0,y0), partimos de la ecuación que define la
curva de indiferencia que pasa por el punto (x0,y0)
u(x,y) = u0,

(*)

con u(x0,y0) = u0.
El Teorema de la Función Implícita establece condiciones que
garantizan que esta ecuación define una funciónalrededor del
punto (x0,y0), y nos dice que en estas condiciones la derivada de
esta función se puede obtener diferenciando totalmente la
ecuación.
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La RMS como ratio de utilidades marginales
Si denotamos las derivadas parciales de u(x,y) con respecto a x
e y como ux y uy, derivando totalmente la ecuación (*)
obtenemos
dx ux + dy uy = 0.
La derivada de la función que define laecuación (*) es
|dy/dx| = |-ux/uy |
Por tanto, podemos obtener la RMS(x0,y0) evaluando esta
expresión en (x0,y0):
RMS(x0,y0) = |-ux(x0,y0)/uy(x0,y0)|

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La RMS como ratio de utilidades marginales
Si aplicamos esta fórmula a los ejemplos 1 y 2
que hemos tratado, obtenemos:
1. u(x,y)=xy
ux= ∂U/∂x=y
uy= ∂U/∂y=x
RMS(x,y)= |- ux/uy| = y/x.
2. u(x,y)=2x+y
ux= ∂U/∂x=2
uy= ∂U/∂y=1RMS(x,y)= |- ux/uy| = 2/1= 2 (constante).

El problema del consumidor
El consumidor elige la cesta de bienes que
maximiza su bienestar (utilidad) dentro del
conjunto de cestas de bienes factibles (conjunto
presupuestario). Es decir, el problema del
consumidor (PC) es:
Max x,y u(x,y)
s. a. xpx + ypy ≤ I
x ≥ 0, y ≥ 0.

El problema del consumidor
Solución: supongamos que (x*, y*) resuelve...