luis

1x log x dx= (log x)22Muchas veces hace falta un cálculo más complicado:
ex sen x dx= ex ∙(-cosx )-ex ∙(-cosx ) dx↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
ƒg1ƒgf1g=-ex cosx+ excosx dx ↓ ↓
Uv'=-excosx+ex ∙sen x -exsen x dx ↓ ↓ ↓ ↓
u v u' v
Por lotanto:
2ex sen x dx=(sen x-cosx )oex sen x dx=ex (sen x-cos x )2Puesto que la integración por partes está basada en el reconocimiento de una función es de la forma g1, cuanto mas funciones se sepan ya integrar, mayor será la probabilidad de éxito. Conviene con frecuencia hacer una integración preliminar antes de sacar el problema principal. Por ejemplo, podemos integrar por partes.
(log x)2 dx=logxlog xdx ↓ ↓
ƒg1Si recordamos que log x dx=x log x-x. Esta fórmula fue deducida a su vez mediante integración por partes; tenemos
log xlog xdx=log xlog x-x-(1x)[xlog x-x]dx ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
ƒg1ƒ gf1g=(logx)[x(logx)-x]-[logx-1]dx =(logx)[x(logx)-x]-logx dx+1 dx =(logx)[x(logx)-x[x(logx)-x]+x =(logx)2-2x(logx)+2xEl método más importante de integración es una consecuencia de la regla de la cadena. La aplicación de este método exige considerablemente más ingenio que la integración por partes, e incluso la explicación del método es másdifícil. Desarrollaremos por lo tanto este método por etapas, enunciando primero el teorema para integrales definidas, y reservando para más adelante el tratamiento de las integrales indefinidas.
Teorema 2
(Formula de sustitución)
Si ƒ y g1 son continuas, entonces
g(a)g(b)=abf o g∙g1g(a)g(b)u du= abfgx∙g1xdx.Demostración
Si F es una primitiva de ƒ, entonces el primer miembro es F(g(b)—F(g(a)).Por otra parte.
(F o g )1=(F o g)∙g1=(f o g )∙g1De modo que F o g en una primitiva de (f o g )∙g1 y el segundo miembro es
F o ga-F o gb=Fgb-Fga.Las aplicaciones más sencillas de la fórmula de sustitución consisten en reconocer que una función dada es de la forma f o gg∙' . Por ejemplo, la integración de.
absen 5 x cos x dx=ab(sen x)5 cos x dxEs facilitada por la aparición del factor cos x, elcual será el factor g1(x) para fx=sen x; la expresión que queda, (sen x)5 , puede escribirse como (gx)5=f(gx), parafu=u5 .así pues.
absen5 x cos x dx gx=sen x fu=u5=bbfgxg1x dx=g(a)g(b)fudu=sen asen b u5 du=sen66-sen6 a6La integración de abtg x a1 x puede ser tratada de manera análoga se escribimos
abtg x dx=-ab-sen xcos xdx.En este caso el factor –sen x es g1(x). Donde gx=cosx; el factor que queda 1cos x puede escribirse f(cos x) para fu=1u. De aquí que.
abtg x dx gx=cos xfu=1u=-abfgxg1xdx=-g(a)g(b)fudu=-cos a cos b 1udu=logcos a-logcos b.Finalmente para hallar
ab1x log xdxObsérvese que 1x=g1(x), donde gx=log x, y que 1log x=f(gx). Para fu=1u pues,
ab dx gx=log xfu=1u=abfgxg1x dx=g(a)g(b)fu du=abf1udu=log=log b-log(log a)Afortunadamente,estas aplicaciones de la fórmula de sustitución pueden abreviarse considerablemente. Las etapas intermedias, que suponen escribir.
abfgxg1xdx=g(a)g(b)fuduPueden eliminarse fácilmente observando lo siguiente: para pasar del primer miembro al segundo,
Sustituir gx por ug1x dx por du(Y cambiar los límites de integración);
Las sustitucionespueden hacerse directamente en la función original (lo cual justifica el nombre de este teorema). Por ejemplo,
absen5 x cos x dx sustituirsen x por ucos x dx por du=sen asen b u5 du,Y análogamente
ab-sen xcos xdx sustituircos x por u-sen x dx por du=cos a cos b 1uduEste método se suele abreviar todavía más, diciendo sencillamente:
Sea...