método granadiete

El metodo del gradiente

El método del gradiente es un método de descenso en el que se comienza a iterar en
un punto arbitrario x0 y se continua siguiendo la línea de máximo descenso del parabo-
loide obteniéndose una sucesión de puntos x1, x2; : : : hasta que se obtiene un punto lo
su¯cientemente cercano a la solución x¤.
En cada iteración se elige la dirección para la que f decrece masrápidamente, que es la dirección contraria a rf(xi). De acuerdo con la ecuación (8), esta dirección es ¡rf(xi) =
b ¡ Axi.
Un modelo de Programación Lineal (PNL) es aquel donde las variables de decisión se expresan como funciones no lineales ya sea en la función objetivo y/o restricciones de un modelo de optimización. Esta característica particular de los modelos no lineales permite abordarproblemas donde existen economías o deseconomías de escala o en general donde los supuestos asociados a la proporcionalidad no se cumplen.
En este sentido el método del gradiente (conocido también como método de Cauchy o del descenso más pronunciado) consiste en un algortimo específico para la resolución de modelos de PNL sin restricciones, perteneciente a la categoría de algoritmos generales dedescenso, donde la búsqueda de un mínimo esta asociado a la resolución secuencial de una serie de problemas unidimensionales.
Los pasos asociados a la utilización del método del gradiente o descenso más pronunciado consiste en:



El método de Newton-Raphson es un método abierto, en el sentido de que su convergencia global no está garantizada. La única manera de alcanzar la convergencia esseleccionar un valor inicial lo suficientemente cercano a la raíz buscada. Así, se ha de comenzar la iteración con un valor razonablemente cercano al cero (denominado punto de arranque o valor supuesto). La relativa cercanía del punto inicial a la raíz depende mucho de la naturaleza de la propia función; si ésta presenta múltiples puntos de inflexión o pendientes grandes en el entorno de la raíz, entonceslas probabilidades de que el algoritmo diverja aumentan, lo cual exige seleccionar un valor supuesto cercano a la raíz. Una vez que se ha hecho esto, el método linealiza la función por la recta tangente en ese valor supuesto. La abscisa en el origen de dicha recta será, según el método, una mejor aproximación de la raíz que el valor anterior. Se realizarán sucesivas iteraciones hasta que el métodohaya convergido lo suficiente. f'(x)= 0 Sea f : [a, b] -> R función derivable definida en el intervalo real [a, b]. Empezamos con un valor inicial x0 y definimos para cada número natural n

Donde f ' denota la derivada de f.
Nótese que el método descrito es de aplicación exclusiva para funciones de una sola variable con forma analítica o implícita conocible. Existen variantes del métodoaplicables a sistemas discretos que permiten estimar las raíces de la tendencia, así como algoritmos que extienden el método de Newton a sistemas multivariables, sistemas de ecuaciones, etc.
Las ventajas del método de Newton son:
1.- El procedimiento es cuadráticamente convergente (p=2), siempre que f ('' x) ≠ 0
2.- Para una función cuadrática el mínimo se obtiene en una única iteración.
Lasdesventajas son:
1.- Se debe calcular tanto f’(x) como f’’(x).
2.- Si f’’(x)→0 el método converge muy lentamente.
3.- Si existe más de un extremo, el método podría no converger al extremo deseado.
Además el método podría oscilar.
2.2.2.- Método de Newton en diferencias finitas
Los métodos en diferencias finitas tipo Newton, se utilizan si la derivada de la función
objetivo es difícil decalcular, o ésta viene dada de forma numérica. Se basan en sustituir
las derivadas por aproximaciones en diferencias finitas.

Obtención del Algoritmo
Tres son las formas principales por las que tradicionalmente se ha obtenido el algoritmo de Newton-Raphson.
La primera de ellas es una simple interpretación geométrica. En efecto, atendiendo al desarrollo geométrico del método de la...