Métodos Númericos

1. TEMA


“Solución de ecuaciones no lineales: Métodos Cerrados”


2.-OBJETIVOS


2.1. Generales.


➢ Desarrollar un programa en el cuál debe mostrar los resultados correctos de cada operación a realizar de una manera adecuada y correcta.
➢ Poner en práctica de lo que hemos aprendido en este capítulo implementando lo aprendido de las demáscátedras, para así obtener un mejor resultado.
➢ Dar a conocer los distintos métodos cerrados que existen y que desconocemos de algunos de ellos.

2.2. Específicos:


➢ Reconocer la importancia de los métodos cerrados con los cuales vamos a trabajar durante el periodo de aprendizaje de esta cátedra.
➢ Complementar lo teórico visto en clases con lo prácticoimplementando este programa.
➢ Terminar comprendiendo que es necesario esforzarse para obtener buenos resultados en lo que nos proponemos hacer.


3.- MARCO TEÓRICO


Método de Bisección


Método tradicional (Intervalos Cerrado)
Este método requiere inicialmente un intervalo [a, b] tal que f(x) = 0. y se debe evaluar periódicamente el producto de la funciónevaluada para determinar la condición f(a)* f(b) < 0


Algoritmo
Reducir sucesivamente el intervalo inicial para obtener una aproximación satisfactoria de la Raíz, dentro del grado de convergencia especificado.


EL MÉTODO DE LA BISECCIÓN
Teorema de Bolzano
Sea f: [a; b] ½ IR ! IR una función continua en [a; b] tal que f(a) ¢ f(b) < 0, es
decir, que tiene distinto signo en ay en b. Entonces, existe c 2 (a; b) tal que f(c) = 0
El Teorema de Bolzano afirma que si una función es continua en un intervalo cerrado y acotado y en los extremos del mismo ésta toma valores con signos opuestos, entonces existe al menos una raíz de la función en el interior del intervalo.






Demostración:
Supongamos que f(a) < 0 y f(b) > 0. Sea T el conjunto formado portodos los valores
x = x 2 [a; b] para los que f(x) < 0. El conjunto T está acotado superiormente por b y, además, no es vacío ya que a pertenece a T. Por ello el conjunto T tiene un extremo superior c. Se cumple que f(c) = 0.
Si f(c) > 0, entonces por la propiedad de la conservación del signo de las funciones
continuas existiría un intervalo (c ¡ ±; c + ±) en el que la función seríatambién positiva.
En este caso existirían valores menores que c que servirían de cota superior de T y por ello c no sería el extremo superior de T como hemos supuesto.
Si f(c) < 0, entonces existiría un intervalo (c ¡ ±; c + ±) en el que la función sería
negativa y por tanto existirían valores de x a la derecha de c para los que la función sería negativa y por tanto c no sería el extremosuperior de T. Por tanto f(c) tiene que tomar
el valor cero: f(c) = 0.
Si f(a) > 0 y f(b) < 0 el razonamiento es similar.
De forma más general obtenemos El Teorema del Valor Intermedio:
El Teorema del Valor Intermedio
Sea f : [a; b] ½ IR ! IR continua en [a; b], y tal que f(a) < f(b) entonces, para
cualquier k tal que f(a) < k < f(b) existe x0 2 (a; b) tal que f(x0) = kBásicamente el Teorema del Valor Intermedio nos dice que toda función contínua en
un intervalo cerrado, una vez que alcanzó ciertos valores en los extremos del intervalo, entonces debe alcanzar todos los valores intermedios.
Demostración:
Para la demostración aplicamos el teorema de Bolzano en la función g(x) = f(x)¡k,
la cual es continua, por serlo f(x), g(a) < 0 y g(b) > 0. Elteorema nos permite afirmar que existirá c 2 (a; b) tal que g(c) = 0 y en consecuencia f(c) = k.
El método de la bisección se basa en estos teoremas y se emplea para aproximar
ceros de funciones.
Supóngase que queremos encontrar los ceros de una función f(x) continua. Dados
dos puntos a y b tal que f(a) y f(b) tengan signos distintos, sabemos por el Teorema
de Bolzano que f(x)...