Maestría

Geometr´ıa anal´ıtica

Secciones c´
onicas

2015-I

Elementos de la circunferencia con centro en (h, k)
Ecuaci´
on general
x2 + y 2 + Cx + Dy + E = 0
Ecuaci´
on cartesiana
(x − h)2 + (y − k)2 = r2
Elementos de la par´
abola con v´
ertice en (h, k)
La par´
abola abre hacia izquierda o derecha

La par´
abola abre hacia arriba o abajo

(y − k)2 = 4a(x − h)

(x − h)2 = 4a(y −k)

V´ertice: V (h, k)

V´ertice: V (h, k)

Foco: F (a + h, k)

Foco: F (h, a + k)

Directriz: D(−a + h, k)

Directriz: D(h, −a + k)

Extremos:

Extremos:

E1 (a + h, 2a + k)

E1 (2a + h, a + k)

E2 (a + h, −2a + k)

E2 (−2a + h, a + k)

L.R = |4a| Lado recto

L.R = |4a| Lado recto

Elementos de la elipse con centro en (h, k)
Elipse sobre el eje X

Elipse sobre eleje Y

(x − h)2
(y − k)2
+
=1
2
a
b2

(y − h)2
(x − k)2
+
=1
2
a
b2

V´ertices:

V´ertices:

V1 (−a + h, k) V2 (a + h, k)

V1 (h, a + k) V2 (h, −a + k)

Coordenadas de los semiejes:

Coordenadas de los semiejes:

B1 (h, −b + k) B2 (h, b + k)

B1 (−b + h, k) B2 (b + h, k)

Focos:

Focos:

F1 (−c + h, k) F2 (c + h, k)

F1 (h, c + k) F2 (h, −c + k)

Ejes:Ejes:

E1 −c + h,

b2
+k
a

E3 −c + h, −

b2
+k
a

E2 c + h,

b2
+k
a

E4 c + h, −

b2
+k
a

E1 −

b2
+ h, c + k
a

E3 −

b2
+ h, −c + k
a

E2
E4

b2
+ h, c + k
a
b2
+ h, −c + k
a

b2 = a2 − c2

Matem´
aticas III

1

Geometr´ıa anal´ıtica

Geometr´ıa anal´ıtica

Secciones c´
onicas

2015-I

Elementos de la hip´
erbola con centro en(h, k)
Hip´erbola sobre el eje X

Hip´erbola sobre el eje Y

(x − h)2
(y − k)2
−
=1
a2
b2

(y − h)2
(x − k)2
−
=1
a2
b2

V´ertices:

V´ertices:

V1 (−a + h, k) V2 (a + h, k)

V1 (h, a + k) V2 (h, −a + k)

Eje conjugado:

Eje conjugado:

B1 (h, b + k) B2 (h, −b + k)

B1 (−b + h, k) B2 (b + h, k)

Focos:

Focos:

F1 (−c + h, k) F2 (c + h, k)

F1 (h, c + k)F2 (h, −c + k)

Extremos:

Extremos:

E1 −c + h,

b2
+k
a

E3 −c + h, −

b2
+k
a

E2 c + h,

b2
+k
a

E4 c + h, −

b2
+k
a

E1 −

b2
+ h, c + k
a

E3 −

b2
+ h, −c + k
a

As´ıntotas

As´ıntotas

x−h y−k
−
=0
a
b

y−k x−h
−
=0
a
b

x−h y−k
+
=0
a
b

y−k x−h
+
=0
a
b

E2
E4

b2
+ h, c + k
a
b2
+ h, −c + k
a

b2 = c2 − a2Matem´
aticas III

2

Geometr´ıa anal´ıtica

Geometr´ıa anal´ıtica

Secciones c´
onicas

2015-I

Ecuaci´
on general de segundo grado
La ecuaci´
on algebraica de la forma Ax2 +Bxy +Cy 2 +Dx+Ey +F = 0, se llama ecuaci´on general de segundo grado,
donde los coeficientes A, B y C no deben ser simult´aneamente igual a cero. Esta ecuaci´on se toma generalmente
como definici´
onanal´ıtica de c´
onica.
Criterios para identificar a la c´
onica que representa una ecuaci´
on de segundo grado
Los criterios mencionados a continuaci´
on, permiten reconocer la c´onica que representa una ecuaci´on de segundo
grado. El coeficiente B = 0, la ecuaci´
on resultante Ax2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 representa un lugar geom´etrico
que siempre es una c´
onica.
Criterio
Si A = 0 ´o C = 0 , pero no ambas
Si A y B tienen el mismo signo
Si A = C y A > 0, C > 0
Si A y C son de signos contrarios

Curva
Par´abola
Elipse
Circunferencia
Hip´erbola

Tabla 1: Criterios para la determinar el lugar geom´etrico de una ecuaci´on general de segundo grado
D y E indican que el centro de la c´
onica esta fuera del origen de coordenadas, si D = 0, el centro est´a sobre el ejeY. Si E = 0, est´
a sobre el eje X. El termino independiente F indica que la c´onica no pasa por el origen. Los ejes de
estas c´
onicas ser´
an paralelos a los ejes coordenados X, Y .
Discriminante
En la ecuaci´
on general de segundo grado Ax2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0, los coeficientes de los t´erminos de
segundo grado A, B y C permiten identificar que tipo de c´onica se tiene....