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7. Programación no Lineal

7.1 Problemas de Optimización sin Restricciones

Se busca maximizar o minimizar una función no lineal f(X) de n variables x1, x2, …, xn, sin que existan restricciones.
La función no lineal f(X) puede representar, por ejemplo, el rendimiento de un proceso químico, el costo de inventario, el número de defectos de un producto, etc.
La función f(X) puede tenerpuntos máximos o mínimos que, en general, se llaman puntos extremos.
Los puntos extremos pueden ser máximos o mínimos, locales o globales. La figura 7.1 ilustra algunos de los diferentes tipos de puntos extremos que se pueden presentar. El punto x1 representa el máximo global, el punto x2 un mínimo local, y el punto x3 un máximo local. La función no tiene un mínimo global




Fig. 7.1 PuntosExtremos


Además, en la figura 7.1 la primera derivada o pendiente de la función f es igual a cero en todos los puntos extremos. Esta propiedad también se satisface en puntos de inflexión como x4. Si un punto con pendiente cero no es un punto extremo (máximo o mínimo), debe ser un punto de inflexión.
7.2 Optimización de Problemas Unidimensionales
En esta sección estudiamos la optimización deuna función de una sola variable.

Condición Necesaria para que una Función f(x) Tenga Puntos Extremos

Una condición necesaria para que x0 sea un punto extremo es que la derivada f´(x) evaluada en x0 sea igual a cero. Simbólicamente,

f´(x) = 0

Como la condición necesaria también queda satisfecha con los puntos de inflexión, los puntos obtenidos con la solución de f´(x) = 0 sellaman puntos críticos o estacionarios. Por lo tanto, necesitamos una prueba que nos diga si el punto crítico es o no un punto extremo.

Prueba de la Segunda Derivada

Suponga que f(x) tiene un punto crítico en x = c.

a) Si f´(c) = 0 y , entonces f tiene un mínimo local en c.
b) Si f´(c) = 0 y , entonces f tiene un máximo local en c.
c) Si f´(c) = 0 y , entonces la prueba es inconclusa. Esdecir, x = c puede ser un máximo, un mínimo o un punto de inflexión.

Ejemplo 7.1 Para la función , cuya gráfica se muestra abajo,
a) obtenga la primera derivada de .
b) obtenga los puntos estacionarios.
c) obtenga la segunda derivada de .
d) verifique si los puntos críticos representan un máximo o un mínimo.




Prueba de la Primera Derivada

Suponga que f(x) tiene un punto crítico enx = c.

a) Si f´ cambia de positivo a negativo en c, entonces f tiene un máximo local en c.
b) Si f´ cambia de negativo a positivo en c, entonces f tiene un mínimo local en c.
c) Si f´ no cambia de signo en c (es decir, f´ es positiva en ambos lados de c o negativa en ambos lados), entonces f tiene un punto de inflexión en c.

Ejemplo 7.2 En el ejemplo 7.1, usando la prueba de la primeraderivada, verifique si los puntos críticos representan un máximo, mínimo o punto de inflexión.




Método del Intervalo Cerrado
Para encontrar el máximo y el mínimo global de una función continua f en un intervalo cerrado :
1. Encuentre los valores de f en los valores críticos de f en .
2. Encuentre los valores de f en los extremos del intervalo.
3. El valor más grande de los pasos 1 y 2es el máximo global; el valor más pequeño es el mínimo global.

Ejemplo 7.3 En el ejemplo 7.1, encuentre el máximo y el mínimo global en el intervalo .








7.3 Optimización de Problemas Multidimensionales

En esta sección estudiamos la optimización de una función f(X) de n variables x1, x2, …, xn.

Condición Necesaria para la Existencia de Puntos Extremos

Una condiciónnecesaria para que X0 sea un punto extremo es que el gradiente evaluado en X0 sea igual a cero. Simbólicamente,



El gradiente es el vector columna de derivadas parciales de f(X) con respecto a las n variables x1, x2, …, xn. Es decir,



Como la condición necesaria también queda satisfecha con los puntos de inflexión, los puntos obtenidos con la solución de se llaman puntos críticos o...