Mapeo Conforme
Páginas: 2 (414 palabras)
Publicado: 16 de febrero de 2014
MAPEO CONFORME
Si por el punto de partida se intersectaban 2 curvas C1 y C2 con un cierto angulo, y la interesecion de la imagen de esas curvas en el punto (u,v) mantenia el angulo, entoncesf(z) era un mapeo conforme.
Una aplicación conforme entre dos espacios de Riemann orientables conserva por definición el ángulo entre vectores. Es decir, si son curvas en que se cortan formando uncierto ángulo, entonces las imágenes por de esas curvas se cortan formando exactamente el mismo ángulo.
En resumen, la imagen de un par de vectores por una aplicación conforme conserva el ánguloque forman esos vectores, pero no necesariamente su módulo.
La relación con las funciones de variable compleja es muy clara. Si es una función derivable compleja, entonces su derivada en un puntoarbitrario es un número complejo, que se puede escribir en forma polar:
Si ahora consideras dos vectores en el plano complejo, es decir, dos números complejos , su imagen por la derivada de esevidentemente:
Por la definición de producto de números complejos, lo que hace esta derivada es dilatar los vectores proporcionalmente a , y son ambos rotados radianes en sentido contrarioa las agujas del reloj. Por lo tanto, aunque su módulo cambia, el ángulo que forman queda fijo, siempre que sea .
Esto lo puedes escribir de la siguiente manera:
Proposición: Toda funciónholomorfa es conforme en aquellos los puntos tales que
Las aplicaciones de las transformaciones conformes complejas son muchas. Una de las principales es a la hidrodinámica. Si consideras unafunción holomorfa cualquiera, aplicando dos veces las ecuaciones de Cauchy-Riemann es fácil deducir que la parte real e imaginaria de estas funciones es armónica (de laplaciano nulo). Una aplicación sencilladel teorema de Green demuestra además que los polos de las funciones meromorfas se comportan como manantiales/sumideros con o sin rotación, dependiendo de su residuo. Esto hace que las funciones...
Si por el punto de partida se intersectaban 2 curvas C1 y C2 con un cierto angulo, y la interesecion de la imagen de esas curvas en el punto (u,v) mantenia el angulo, entoncesf(z) era un mapeo conforme.
Una aplicación conforme entre dos espacios de Riemann orientables conserva por definición el ángulo entre vectores. Es decir, si son curvas en que se cortan formando uncierto ángulo, entonces las imágenes por de esas curvas se cortan formando exactamente el mismo ángulo.
En resumen, la imagen de un par de vectores por una aplicación conforme conserva el ánguloque forman esos vectores, pero no necesariamente su módulo.
La relación con las funciones de variable compleja es muy clara. Si es una función derivable compleja, entonces su derivada en un puntoarbitrario es un número complejo, que se puede escribir en forma polar:
Si ahora consideras dos vectores en el plano complejo, es decir, dos números complejos , su imagen por la derivada de esevidentemente:
Por la definición de producto de números complejos, lo que hace esta derivada es dilatar los vectores proporcionalmente a , y son ambos rotados radianes en sentido contrarioa las agujas del reloj. Por lo tanto, aunque su módulo cambia, el ángulo que forman queda fijo, siempre que sea .
Esto lo puedes escribir de la siguiente manera:
Proposición: Toda funciónholomorfa es conforme en aquellos los puntos tales que
Las aplicaciones de las transformaciones conformes complejas son muchas. Una de las principales es a la hidrodinámica. Si consideras unafunción holomorfa cualquiera, aplicando dos veces las ecuaciones de Cauchy-Riemann es fácil deducir que la parte real e imaginaria de estas funciones es armónica (de laplaciano nulo). Una aplicación sencilladel teorema de Green demuestra además que los polos de las funciones meromorfas se comportan como manantiales/sumideros con o sin rotación, dependiendo de su residuo. Esto hace que las funciones...
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