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Experiencias Docentes
Transformando Cuádricas Regladas
Josefa Marín, Amparo Verdú y José Luis Almazán
Revista de Investigación

Volumen II, Número 2, pp. 013--024, ISSN 2174-0410
Recepción: 5 Jul’12; Aceptación: 20 Jul’12

1 de octubre de 2012
Resumen
Las Matemáticas y la Arquitectura están íntimamente relacionadas. Pretendemos en este
trabajo demostrar cómo a partir de dos cuádricasregladas clásicas como son el hiperboloide
de una hoja y el paraboloide hiperbólico y sus secciones, obtenemos distintas figuras
geométricas que se pueden utilizar como cubiertas.
Las Matemáticas no son solamente una herramienta de cálculo para poder diseñar la
obra en cuestión, pretendemos destacar la importancia de éstas en el gran avance
arquitectónico en cuanto a modernidad se refiere. Elprograma Mathematica resulta de gran
ayuda para visualizar las propiedades y la forma de generar esas superficies.
Palabras Clave: Cuádricas, Mathematica, regladas, Arquitectura.
Abstract
Mathematics and architecture are closely related. This paper tries to show how from
two ruled quadrics classics such as the hyperboloid of one sheet and hyperbolic paraboloid
and its sections, we getdifferent geometric figures that can be used as covers.
Mathematics is not just a calculation tool to be able to design the work in question, we
intend to emphasize their importance in the architectural breakthrough in terms of
modernity is concerned. The program “Mathematica“ is very helpful to display the
properties and how to generate those surfaces.
Key Words: Quadric surfaces, Mathematica,regulated, Architecture.

1. Introducción
Es de sobra conocido que las cónicas y cuádricas son fundamentales para representar y
modelizar secciones y superficies, ocupando un papel destacado el estudio de las superficies
regladas por su utilidad a la hora de construir. El propósito de este trabajo es presentar de una
manera sencilla y didáctica cómo a partir dos conocidas cuádricas regladascomo son el
hiperboloide de una hoja o el paraboloide hiperbólico, estudiando sus ecuaciones implícitas o
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paramétricas y sus secciones podemos transformarlas para definir nuevas figuras que tengan
formas concretas.

2. Desde un Hiperboloide de una hoja
2.1 Definición y primera representación
Se define unhiperboloide de una hoja como una cuádrica de ecuación general reducida
x2 y 2 z2
con eje en OY igual a 2  2  2  1 .
a
b
c

Figura 1. Hiperboloide de una hoja generado por circunferencias

Las secciones para cada plano

y  y0 son circunferencias de ecuación implícita

y 2
x2 z2
 2  1  02 y como podemos ver en la figura anterior.
2
a
c
b

2.2 Generación por rectas
Pero tambiénpodemos representar la superficie anterior cómo una superficie reglada,
generada por una de las dos rectas generatrices que gira alrededor de una circunferencia. Para
ello vemos a continuación la forma de obtener las ecuaciones de las rectas generatrices:

x2 y2
z2
z 
z
 x y  x y  
 2  1  2         1   1   
2
a
b
c
c 
c
 a b  a b  



z
z
x y 
 x y 
   1  
   1  
a b 
c
c
 a b  
, 


1  z 
x y
1  z 
x y










c
c


a b
a b

z 
z
x y
x y

Primera recta generatriz:       1   y  1       
c
c 

a b
a b

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Revista “Pensamiento Matemático”

Volumen II, Número 2, Oct’12, ISSN 2174-0410Transformando Cuádricas Regladas

Josefa Marín, Amparo Verdú, José Luis Almazán

z
z
 x y
x y
Segunda recta generatriz:       1   y  1       
c 
c

 a b
a b

Y construimos el hiperboloide desplazando una de estas rectas por la circunferencia en el
x2 z2
plano y=0 de ecuación implícita 2  2  1 .
a
c

Figura 2. Hiperboloide de una hoja generado...