marices

MATRICES
 
 
Definición:  Una matriz es un arreglo de números reales distribuídos en filas y columnas, el cual están encerrados en paréntesis o corchetes.  Las matrices generalmente se denotan con letras mayúsculas.
 
Ejemplos:
                           
 
Si una matriz tiene  m filas  y  n columnas,  entonces se dice que  la  matriz es de dimensión m xn.  Por ejemplo, la matriz A es de dimensión 2 x 3,ya que la matriz A tiene dos filas (m) y tres columnas (n).  B es de dimensión ________, C es de dimensión _______ y D es de dimensión __________.
 
Observa que una matriz de dimensión 1 x n  tiene una fila y n columnas; mientras que una matriz de dimensión m x 1 tiene m filas y una columna.   Unamatriz que consiste de una columna sellama matriz columna.  Una matriz que consiste de una fila se llama matriz fila.  En los ejemplos anteriores, Ces una matriz columna y D es una matriz fila.
 
Si todos los elementos ( o componentes) de una matriz son ceros llamamos a la matriz una matriz cero y se denota por 0.  Por ejemplo, la matriz cero de dimensión 2 x 3 es:
 

 
Una matriz con el mismo número de filas que de columnas se llama una matriz cuadrada.
 
Ejemplos:                                       dimensión 2 x 2        dimensión 3 x 3  
 
 
Nota:  Los números 1, -1 y 5 en la  matriz C de dimensión 3 x 3 se conocen como los elementos de la diagonal principal.  La diagonal principal lahallamos en las matrices cuadradas.  Así también los números 1 y 5 en la matriz A de dimensión 2 x 2 son elementos de la diagonal principal.   
Operaciones con matrices
Teoría
Ejercicios
 
Dadasdos matrices de la misma dimensión, A = (aij) y B = (bij), se define la matriz suma como:
A + B = (aij + bij)
La matriz suma se obtiene sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma posición.
Ejemplo 

Propiedades de la suma de matrices
 1.  Interna
La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensión m x n.
 2.  Asociativa
A + (B + C) = (A + B) + C 3.  Elemento neutro
A + 0 = A
Donde O es la matriz nula de la misma dimensión que la matriz A.
 4.  Elemento opuesto
A + (−A) = O
La matriz opuesta es aquella en que todos los elementos están cambiados de signo.
 5.  Conmutativa
A + B = B + A

Operaciones con matrices
Teoría
Ejercicios
 
Dadas dos matrices de la misma dimensión, A = (aij) y B = (bij), se define la matriz suma como:
A + B = (aij +bij)
La matriz suma se obtiene sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma posición.
Ejemplo 

Propiedades de la suma de matrices
 1.  Interna
La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensión m x n.
 2.  Asociativa
A + (B + C) = (A + B) + C
 3.  Elemento neutro
A + 0 = A
Donde O es la matriz nula de la misma dimensión que la matriz A.
 4.  Elementoopuesto
A + (−A) = O
La matriz opuesta es aquella en que todos los elementos están cambiados de signo.
 5.  Conmutativa
A + B = B + A
OPERACIONES CON MATRICES
Sumar y restar matrices
Para sumar y restar matrices, éstas pueden ser, las dos cuadradas o las dos rectangulares. El número de filas y columnas de una han de ser igual al número de filas y columnas de la segunda.
Sumar:
Sumamos losvalores que ocupan la misma posición.
El valor que se halla en la posición (1  1) de A con el valor de la posición (1   1) de la matriz B.
El valor que se halla en la posición (1  2) de A con el valor de la posición (1   2) de la matriz B.
El valor que se halla en la posición (1  3) de A con el valor de la posición (1   3) de la matriz B. De este modo haremos con el resto de las filas.
Vamos asumar las matrices A y B:

Restar matrices:
Es lo mismo que en el caso anterior pero restando los valores que ocupan las mismas posiciones:

 



Ejercicio #8 ¿Cuánto vale:

 Respuesta:

Multiplicar matrices:
Vamos a considerar 2 casos:
1) Multiplicar una matriz por un escalar

Multiplicamos cada elemento por el escalar:

2) Multiplicar dos...