Martingalas

Esperanza Condicional y Martingalas Ejercicios
En los ejercicios siguientes, cuando no se especifique la filtraci´n se o trata de la filtraci´n natural. o 1. (a) Sea (X, Y ) un vector aleatorio con densidad conjunta p(x, y). Determinar una funci´n real y medible g(x) tal que o E(Y | X) = g(X). (b) Calcular E(Y | X) cuando (X, Y ) es un vector normal con densidad conjunta gaussiana. 2. Consideremosuna variable aleatoria X, con distribuci´n discreta, o que toma los valores x1 , x2 . . . ; y otra variable aleatoria Y , con esperanza E Y . Encontrar una funci´n g(x) definida para los valores x1 , x2 . . . tal o que E(Y | X) = g(X). 3. Varianza condicional. Consideremos una variable aleatoria X definida en (Ω, A, P) y G una sub σ-´lgebra de A. Definimos la varianza condia cional de X dada G, quedesignamos var(X | G), mediante var(X | G) = E (X − E X)2 | G . (a) Demostrar la f´rmula var X = var E(X | G) + E var(X | G). (b) o Consideremos la suma de una cantidad aleatoria de sumandos de la forma
N

S=
k=1

Xk

donde N, X1 , . . . , XK son variables aleatorias independientes, 1 ≤ N ≤ K, y X1 , . . . , XK tienen distribuci´n id´ntica, con E X1 = a y var X1 o e 2 finita. Demostrar, quevar S = a var N + E N var X1 . 4. Sean X, Y variables aleatorias independientes, con esperanza nula, cada una de las cuales tiene distribuci´n normal. Demostrar que o E (X − Y )2 | X 2 + Y 2 = E (X − Y )2 | X 2 , Y 2 = X 2 + Y 2 . ¿Es v´lido el mismo resultado cuando las variables X e Y son independia entes y sim´tricas? e 1

5. La esperanza condicional permite definir cadenas de Markov, enespacios de estados no necesariamente numerables. Consideremos una sucesi´n o {Xn } de variables aleatorias, que verifica P(Xn+1 ∈ I | Xn , . . . , X1 ) = P(Xn+1 ∈ I | Xn ), (1)

para todo n = 2, 3, . . . , y todo intervalo I = [a, b]. Demostrar, que si las variables aleatorias {Xn } toman valores en un conjunto I, finito o numerable, entonces, la definici´n (1) es equivalente a la definci´n usual. o o6. Funci´n caracter´stica de una variable de Poisson compuesta. Consido ı eremos una sucesi´n N, X1 , X2 , . . . de variables aleatorias independientes, o tales que X1 , X2 , . . . son id´nticamente distribu´ e ıdas, la variable aleatoria N tiene distribuci´n de Poisson con par´metro λ > 0. Demostrar, o a N que la funci´n caracter´ o ıstica de la variable aleatoria S = k=1 Xk = X1 + · · · + XN ,est´ dada por a f (t) = EitS = exp λ E(eitX − 1) . 7. Consideremos una sucesi´n X1 , X2 , . . . de variables aleatorias, que o verifican E Xn = 0 (n = 1, 2, . . . ), y tales que existe E exp Xn (n = 1, 2, . . . ). (a) Demostrar, que la sucesi´n {exp(X1 + · · · + Xn )} es una o submartingala. (b) Encontrar constantes an , de forma que {exp(X1 + · · · + Xn − an )} sea una martingala. 8. Descomposici´nde Doob. Sea {Yn } una submartingala, adaptada a o {Fn }. (a) Demostrar que
n

Mn = Y0 +
k=1

Yn − E(Yn | Fn−1 )

(n = 1, 2, . . . )

es una martingala, y que la sucesi´n An = Yn − Mn (n = 1, 2, . . . ) verifica o 0 ≤ A1 ≤ A2 ≤ . . . , siendo la variable An medible con respecto a Fn−1 (se dice que {An } es previsible). La sucesi´n {An } se llama compensador o de {Yn }.
2 (b) Calcular elcompensador de {Sn }, donde Sn = X1 + · · · + Xn (n = 1, 2, . . . ), cuando X1 , X2 , . . . son variables aleatorias independientes, con 2 esperanzas nulas, y tales que existe E Xn , para todo n = 1, 2, . . . .

2

9. Sea Sn = X1 + · · · + Xn (n = 1, 2, . . . ) donde {Xn } es una sucesi´n o de variables aleatorias independientes, id´nticamente distribu´ e ıdas, con densidad p(x).Consideremos una funci´n h(x), que verifica o
∞

h(x + y)p(y)dy = h(x) para todo x real.
−∞

(2)

Demostrar (suponiendo que existen {E h(Sn )}) que {h(Sn )} es una martingala. La identidad (2) se llama ecuaci´n de Wiener–Hopf . o 10. Sean τ y σ tiempos de parada, con respecto de {Fn }; N un natural positivo. Determinar si son tiempos de parada las variables aleatorias siguientes: (a) τ + N ; (b) τ −...