Mat Financiera

UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES
Facultad de Economía y Empresa

Matemáticas
Financieras
Profesor: Christian Espinosa M.
E-mail:

christian.espinosa.m@usach.cl

2015

Valor del dinero en el
tiempo

Valor del dinero en el tiempo


Tasa de cambio:

Imagine un artículo que ayer tenía un valor de 100 y hoy
tiene un valor de 110. En cuanto cambio:



En monto : 110-100 = 10
En tasa de cambio :(110-100)/100 = 0.10
= 0.10 * 100 = 10%

¿Que representa este 10%?

Valor del dinero en el tiempo

VP

VF

Valor
Presente

Interés

INTERES






Valor
Futuro

Simple
Compuesto
Compuesto capitalizable
Compuesto continuo

Introducción



El interés se define como el dinero que se paga por el uso del dinero ajeno.
También puede interpretarse como el rendimiento que se tiene al invertir en
formaproductiva el dinero.



Ahora, el Interés (I; es un monto) corresponde a un porcentaje (%, tasa de
interés) que se paga o recibe sobre el monto original (VP, capital).



Este porcentaje corresponde a la tasa de interés (i). Así, entonces:

I  VP * i


Donde I es el Interés, VP es el Valor Presente e i es la tasa de interés.

Introducción


Ahora, considerando que:
y que
entonces

I  VP * i

VF VP  I
VF  VP  VP * i
VF  VP * (1  i )

Introducción



Al cabo de un año tendremos:

VF  VP  I
 VP  VP * i
 VP * (1  i )

Introducción



Al cabo de 2 años:

VF  VP  I
 VP  VP * i  VP * i
 VP  2VP * i
 VP * (1  2i )

Introducción



Al cabo de 3 años:

VF  VP  I
 VP  VP * i  VP * i  VP * i
 VP  3VP * i
 VP * (1  3i )

Introducción



En general:

VF  VP I
 VP  VP * i  VP * i  VP * i  ...
 VP  nVP * i
 VP * (1  ni )

Introducción



El tiempo, para estos efectos, se mide anualmente. Lo
denominaremos “n”.



Por simplicidad consideraremos un año calendario de 360 días.



Si es una fracción de año, por ejemplo 3 meses sería:

n


90
360

Si fuera un año sería:

n

360
1
360

Interés Simple



En general:

VF  VP (1  ni)


Estolo denominamos INTERES SIMPLE.

Interés Simple



Cuando el interés es pagado sobre la suma original
(depositada o solicitada) y no sobre los intereses
subsiguientes, se está hablando de interés simple.

VF  VP(1  ni)  VP  VP * n * i
Capital +

Interés

Interés Simple



Ejemplo:



Si usted solicita prestado $1.000.000 para devolverlo en
3 años más con un 8% de interés anual simple de8%
¿Cuánto debe cancelar al cabo de los 3 años?.

Interés Compuesto



Cuando el interés se cobra no sólo por el capital original
sino también sobre los intereses devengados, estamos
frente al interés compuesto:

VF  VP (1  i)

n

Interés Compuesto



Ejemplo:



¿Cuánto debería cancelar usted al cabo de 3 años por
un préstamo de $1.000.000, con un interés de 8%
compuesto anual?

InterésCompuesto
Diferencia entre Interés Simple y Compuesto



0
VP

1
VP + VP*i

VP(1+i)

2

3

VP + VP*i + VP*i

VP + VP*i + VP*i + VP*i

VP + 2 VP*i

VP + 3 VP*i
VP(1+3i)

VP(1+2i)

Interés Simple
VP(1+ni)

0
VP

1

2

3

VP + VP*i

VP(1+i) + VP(1+i)*i

VP(1+i)^2 + (VP(1+i)^2 )*i

VP(1+i)

VP(1+i)^2

VP(1+i)^3
Interés Compuesto
VP(1+i)^n

Interés compuesto capitalizable



Ahora, si el interés secapitaliza más de 1 vez al año
entonces:

i 

VF  VP 1  
m



n*m

Donde m corresponde al número de capitalizaciones en
el año y n al número de años.

Interés compuesto capitalizable



Ejemplo: Una empresa pide prestado $1.000.000 al 8%
de interés anual compuesto trimestralmente,
¿Cuánto debe cancelar al cabo de 3 años.

Interés Compuesto continuo







Puede suceder que el interésse compone
continuamente, aumentando "m" a tal punto que puede
aproximarse al infinito. Esto es lo que se denomina
Capitalización continua.
nm
i 
Cuando sucede esto, el término 

1+ 
m


e

in

se aproxima a
donde "e" es aproximadamente
2,71828, que está definido como:

i 

e  lim 1  
m
m  
in

m

Interés Compuesto continuo



Así, el valor final de un capital cuyo interés se...