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DERIVACIÒN DE FUNCIONES TRASCENDENTES.

Funciones Exponencial y logarítmica.

Ida y Vuelta

Analicemos las siguientes situaciones:
Al pararse una persona ante un espejo, ¿Qué se espera que suceda?
Al lanzar una piedra verticalmente hacia arriba ¿Qué se espera que suceda?
Al hacer un préstamo en dinero a un amigo ¿Qué se espera que suceda?
Al jugar un partido de tenis y lanzar la pelota aladversario ¿Qué se espera que suceda?

Cuando dos funciones son inversas, sucede algo similar, a las actividades anteriores, si ésta cumple con ciertas condiciones:














La funciòn “g” se llama función inversa de la función “f” y se denota por , como vemos la función “g” invierte la correspondencia dada por la función “f”, esto siempre y cuando “f “ séa una función uno a uno (biunívoca).Recordemos tambien que si una función continua es siempre creciente o siempre decreciente, indica que tiene función inversa.

Una función expònencial está definida por y = , en base ala definición de logaritmo natural se transforma en x = ln y . las funciones y ln y tiene el comportamiento de funciones inversas, si permutamos “x” y “y” de la ecuación resulta , que se define como funciónlogaritmica.
Gráficamente las funciones exponencial f(x) = y logaritmica quedan de la siguiente forma:

































Análogamente si la función exponencial tiene como base a = 10 en lugar de “e”, basándose en la definición de logaritmo común, se transforma en x = log y . las funciones a x y log y , tienen el comportamiento de funciones inversas y si permutamos “ x “ y “ y ” de laecuación x = log “ y “ , resulta y = log x , que se define como una función logarítmica su gráfica es idéntica a la anterior haciendo notar que en lugar de f(x) = ex queda f(x) = ax y en lugar de g(x) = ln x queda .
FÓRMULAS DE DERIVACIÓN PARA FUNCIONES LOGARÍTMICAS Y EXPONENCIALES.


Partiendo de la fórmula para derivar la función ln V, deduciremos las demás fórmulas:


















EJEMPLOSDEMOSTRATIVOS.


1) Calcular la derivada de la siguiente función logarítmica

Solución por fórmula:




NOTA: Actividad para el alumno:

Derivar la función anterior aplicando propiedades de los logaritmos.


2) Calcular la derivada de la siguiente función exponencial

Solución aplicando propiedades de los logaritmos:









NOTA: Actividad para el alumno:

Derivar la función anterioraplicando fórmulas.




DERIVA LAS SIGUIENTES FUNCIONES:



Solución:




















HALLAR LA DERIVADA DE LAS FUNCIONES SIGUIENTES.

1.


2.


3.


4.


5.
6.


7.


8.


9.


10.




FÓRMULAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.









































DEMOSTRACION DE FORMULAS TRASCENDENTES






=

=

=

=

=

=



1). Calcular la derivada de la siguiente funcióntrigonométrica directa

Solución:


2). Calcular la derivada de la siguiente función trigonométrica inversa



Solución:





ACTIVIDAD PÀRA LOS ALUMNOS.


Calcular la derivada de cada una de las siguientes funciones:


1)

2)

3)

4)

5).

6).

7).

8).

9).

10).

FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES


SUBE Y BAJA


















En la gráfica tenemos el perfil de una pirámide de basecuadrada, la cual se va a escalar, sabiendo que cada escalón tiene con base 1.00 m y como altura 50 cm. Si una persona hace el recorrido iniciando en el punto “A” y terminando en el punto “J”, ¿Cuál es el avance y la altura respectiva en cada uno de los puntos intermedios B, C, D, E, F, G, H, e I?


¿A qué avance corresponde el punto donde la persona está a la altura máxima?.

¿A qué avance correspondeel punto donde la persona empieza a bajar?.

Cuando la persona ha avanzado 12.5 mts. ¿A qué altura se encuentra?.

Cuando la persona ha avanzado 18.5 mts. ¿A qué altura se encuentra?.

Ahora analizaremos el comportamiento de un punto a través de la gráfica de una función; como veremos, distintas y diversas funciones tienen un recorrido semejante al de la persona subiendo y bajando la pirámide....