Mate IV 2011 Cuat1 Parcial1 2

Resoluci´
on del 1er Parcial de Matem´
atica IV - 16/05/2010

1. Encontrar la soluci´
on general de la ecuaci´on diferencial
y (x) = 3y(x) + e2x .
Respuesta:
La soluci´on general de esta ecuaci´
on diferencial est´a se obtiene como la suma de la soluci´
on de
la ecuaci´on diferencial homog´enea asociada y de una soluci´on particular de la ecuaci´on original.
Para encontrar la soluci´
on de laecuaci´on homog´enea se tiene que: (Aclaraci´
on: se puede resolver de
diferentes maneras, aqu´ı se propone s´
olo una)
y − 3y = 0 ⇒ y = 3y ⇒

y
y

dy
= 3 ⇒ y1 dx
= 3 ⇒ y1 dy = 3dx ⇒ y1 dy =
⇒ |y| = e3x+c ⇒ |y| = e3x ec ⇒ y = Ae3x

3dx ⇒ ln(|y|) = 3x + c

Soluci´
on de la ecuaci´
on homog´enea: yH (x) = Ae3x .
Ahora buscamos una soluci´
on particular de y (x) = 3y(x) + e2x , se propone yP (x) = Be2xpues
la potencia que aparece es distinta a la potencia que encontramos en la soluci´ın de la ecuaci´
on
homog´enea. Si yP (x) = Be2x , yP (x) = 2Be2x y si se reemplaza en la ecuaci´on queda:
2Be2x − 3Be2x = e2x ⇒ −Be2x = e2x ⇒ −B = 1 ⇒ B = −1
Soluci´
on particular de la ecuaci´
on: yP (x) = −e2x .
Soluci´
on general de la ecuaci´
on diferencial: y(x) = Ae3x − e2x .
Verificar si la soluci´
onencontrada es correcta.

2. Dado α ∈ R, consideramos el sistema
x = (α + 2)x + y
y = (−α − 2)x + (α − 2)y
a) Determinar la estabilidad del origen seg´
un α.
Respuesta:
Para estudiar la estabilidad del sistema hay que estudiar los autovales de la matriz A. Sea
α+2
1
A=
.
−α − 2 α + 2
y su polinomio caracteristico es P (λ) = λ2 − 2αλ + α2 + α − 2. El discriminate es = −4α + 8
> 0, −4α
√ +8>0⇒2>α
√
2α +−4α + 8
λ1 =
= α + −α + 2
√2
√
2α − −4α + 8
λ2 =
= α − −α + 2
2
(i) 0 < α < 2, λ1 > 0, luego es inestable.
(ii) si α < 0, λ2 < 0, ahora hay que ver que sucede con λ1 .
√
√
√
2
α + −α + 2 > 0 ⇒ −α + 2 > −α ⇒ −α + 2 > (−α)2 ⇒ −α + 2 > α2 ⇒ 0 >
α2 + α − 2 = (α − 1)(α + 2).
√
esto es negativo si −2 < α < 0, entonces α + −α + 2 > 0 si −2 < α < 0, entonces es
inestable.
(iii) si α = −2, λ1 = 0 y λ2 = −4,es estable.
(iv) si α < −2, λ1 < 0, λ2 < 0, es asint´oticamente estable.
2)
= 0 ⇒ −4α + 8 = 0 ⇒ α = 2
λ1 = λ2 = 2·2
2 = 2 > 0, entonces es inestable.

1) Si

< 0 ⇒ −4α + 8 > 0 ⇒ α > 2
Re(λ1 , λ2 ) = 2α
2 > 0 es inestable.
Resumiendo:
1) Si α < −2, es asint´
oticamente estable
2) Si α = −2, es estable
3) Si −2 < α < 2, es inestable
4) Si α = 2, es inestable
5) Si α > 2, es inestable
b) Para α = 1,Si α = 1, el sistema queda
x = 3x + y
y = −3x − y
3)

1) probar que x + y es constante
Respuesta:
Hay diferentes maneras de mostrar esto, una de ellas es:
Como x e y son funciones, para que x+y sea constante su derivada tiene que dar 0 entonces:
0 = (x + y) = x + y = (3x + y) + (−3x − y) = 3x + y − 3x − y = 0
Luego, x + y es constante.
2) encontrar y graficar la soluci´
on tal que (x(0), y(0)) =(1, 1).
Respuesta:
Se sabe que la soluci´
on de este sistema de ecuaciones diferenciales es de la forma
1
x
= eAt ·
1
y
3
1
.
siendo A =
−3 −1
Por lo tanto, hay que calcular eAt . Se sabe que eAt = P eJt P −1 , donde J es la matriz de
Jordan de A.
El Polinomio caracteristico de A es P (λ) = λ2 − 2λ por lo que los autovalores son λ1 = 0
y λ2 = 2.
Ahora se busca los autovectores (las cuentas se lasdejo al usuario): un autovector de
autovalor 0 es v = (−1; 3) y un autovector de autovalor 2 es w = (1; −1). Por lo tanto,
1
1
0 0
−1 1
3
1
2
2
·
·
=
A=
.
1
3
0 2
3
−1
−3 −1
2
2
Entonces,


0
0

t
1
1
−1 1
0 2
At
2
2
·e
e =
·
1
3
3
−1
2
2
1
1
0t
−1 1
e
0
2
2
eAt =
·
·
1
3
3
−1
0
e2t
2
2
1
1
−1
1
1
0
2
2
eAt =
·
·
3
1
3
−1
0 e2t
2
2
1
1
x(t)
1
−1 1
1 0
1
2
2
= eAt ·
=
·
·
·
3
1
2t
y(t)
1
3
−1
0e
1
2
2
2t
x(t)
−1 + 2e
=
y(t)
3 − 2e2t
Verificar que la soluci´
on es correcta.
El gr´
afico quedar´ıa (ver la figura 1)

3. Encontrar y clasificar los puntos de equilibrio del sistma no-lineal
x = −6y 5 ex+y
y = 2(x − 1)ex+y
Respuesta: Para encontrar los puntos de equilibrio hay que pedir que

Figura 1: Gr´afico
F (x, y) = (−6y 5 ex+y , 2(x − 1)ex+y ) = (0, 0).
0 = −6y 5 ex+y
0 = 2(x −...