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CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II

TEMA 7 (Ultima actualización 1/10/2003)

Formas Cuadráticas

1) Forma cuadrática en el Rn es toda expresión de la forma donde los coeficientes aij y las variables xi , xj toman valores reales y se verifica que aij = aji
Los coeficientes determinan una Matriz simétrica de orden n

M =

Recíprocamente cada Matrizcuadrada, simétrica de orden n está asociada a una forma cuadrática de orden n

2) Una forma cuadrática F se llama definida positiva , si F > 0 para todo sistemas de valores no simultáneamente nulos de las xi , xj variables

3) Una forma cuadrática F se llama definida negativa , si F < 0 para todo sistemas de valores no simultáneamente nulos de las xi , xj variables

4) Una forma cuadráticaF se llama semidefinida positiva , si F  0 es decir se conserva positiva, anulándose solo para algún sistema de valores de las variables xi , xj

5) Una forma cuadrática F se llama semidefinida negativa , si F  0 es decir se conserva negativa, anulándose solo para algún sistema de valores de las variables xi , xj

6) Una forma cuadrática F se llama indefinida , si F toma valorespositivos, nulos o negativos, para distintos sistemas de valores de las variables xi , xj.


Llamaremos H al determinante de la Matriz M de los coeficientes de la forma cuadrática

H = donde aij = aji



Al menor complementario de orden k < n extraído de H lo llamaremos Hk
Hk=


TEOREMA 1
Sea donde los coeficientes aij y las variables xi , xj toman valoresreales y se verifica que aij = aji

La condición necesaria y suficiente para que F sea definida positiva es que Hk > 0 para k = 1..n

La condición necesaria y suficiente para que F sea definida negativa es que (-1)k Hk > 0 para k = 1..n En esta ultima expresión, para k = 1 (impar), Hk debe ser negativo, de lo contrario no se puede asegurar nada.

DEMOSTRACIÓNNos limitaremos a efectuar la demostración en el espacio R2

ya que a 1,2 = a 2,1 multiplicamos y dividimos la expresión por a 1,1 y en los dos primeros términos completamos el binomio cuadrado haciendo el siguiente artificio



En el espacio R2, H2 = y H1= a 1,1 y reemplazamos en F

Entonces si

F es definida positiva F es definidanegativa

EXTREMOS DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

En éste tema se estudiará la teoría de máximos y mínimos relativos, (o locales), de funciones de varias variables independientes o bien relacionadas entre sí mediante ciertas condiciones adicionales, que al igual que para funciones de una variable independiente constituye una importante aplicación del cálculo diferencial, y en particular de lafórmula de Taylor. Veamos, entonces, los extremos libres en primer término.

EXTREMOS LIBRES DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

Aquí denotaremos por y = f(x1,x2,x3,.....,xn) = f() una función de “n” variables independientes definida en un cierto subconjunto S de Rn , = (a1,a2,..., an) un punto de S y N = N(, r) un entorno del punto , de radio r > 0.

Definición 1: Se dice que y = f()tiene un máximo relativo o local en  S, si:
 r > 0 /   S N(, r) : f()  f()

Definición 2: Se dice que y = f() tiene un mínimo relativo o local en  S, si :
 r > 0 /   S N(, r) : f()  f()
Definición 3: Se dice que y = f() tiene un extremo absoluto o global en  S, si:
()   S : f()  f() , o bien :
(II)   S : f()  f()
En el caso (), f()constituye el máximo absoluto de f , y en el caso (II) f() constituye el mínimo absoluto de f.
Nota: Los máximos y mínimos locales se denominan extremos relativos o locales. La palabra “relativo” (“local”) indica que se compara el valor de la función en el punto = con los valores que ella toma en una vecindad de dicho punto solamente. Así, una función con máximos y mínimos locales puede tomar...