mate

Ejercicios de integrales y áreas

1. Se sabe que las dos gráficas del dibujo corresponden a la función f: R  R definida por y a su función derivada f ´.
a) Indica, razonando la respuesta, cuál es la gráfica de f y cuál la de f ´.
b) Calcula el área de la región sombreada.

Solución

a) 

 f corta al eje OX en un solo punto: en x = 0.
 f ' corta al eje OX cuando x = –2 y x= 0. Por tanto, la gráfica de f' es la (1), mientras que la gráfica de f es la (2).

b) El área pedida viene dada por



La integral la haremos por partes.

Tomando: u = x du = dx
ex dx = dv v = ex

Se tiene: ===


Luego

2. Sea
a) Expresa I aplicando el cambio de variable .
b) Calcula el valor de I.

Solución

a) Si 
Además,  . Por tanto:
para x =2 se tendrá:  t = 5
para x = 0 se tendrá:  t = 1
Sustituyendo: = = =
b) Operando:

=
=

3.- La curva y = 1/2 x2 divide al rectángulo de vértices A = (0, 0), B = (2, 0), C = (2, 1) y D = (0, 1) en dos recintos.
(a) Dibuja dichos recintos.
(b) Halla el área de cada uno de ellos.
Solución
a) Para dibujar la parábola hallamos su vértice y sus puntos de corte:Vértice V = (0, 0), que coincide con su punto de corte con el eje Y y con el eje X.
Se trata de una parábola simétrica respecto al eje OY (función par). Hallaremos 2 puntos para x = 2 y para x = 4, y tendremos ya sus simétricos, x = -2, x = -4.
Puntos (2, 2), (4, 8), (-2, 2), (-4, 8).

El dibujo de la parábola y los recintos que delimita en el rectángulo de vértices A = (0, 0), B = (2, 0), C = (2,1) y D = (0, 1) es el siguiente:



b) Tenemos que hallar el punto en el que la parábola corta al rectángulo. Para ello basta con imponer a la función y = 1/2 x2, el valor de y = 1, que es el valor que toma en ese punto de corte. Por lo tanto tendremos 1 = 1/2 x2 → x2 = 2 → . El resultado que tiene sentido en nuestro caso es

- Calculamos el área del recinto verde:

Tenemos en cuenta elárea del rectángulo que tiene por vértices los puntos (0,1), (,1), (,0) y (0, 0) para calcular el área del recinto.

Averde = u2

- Calculamos el área del recinto azul:
Aazul = Arectángulo – Averde = u2

4.- Considera las funciones f, g definidas por y .

(a) Esboza sus gráficas en unos mismos ejes coordenados y calcula sus puntos de corte.

(b) Calcula el área del recinto limitadopor las gráficas de f y g.

Solución

a) Calculamos los vértices y los puntos de corte de ambas parábolas:



Las dos gráficas y el área comprendida entre ellas será:





Los puntos de corte de las funciones serán (0, 0) y (4, 8).
b) El área comprendida entre las dos funciones será








5. Sean f y g las funciones definidas mediante
f (x) = x3 – 4x y g (x) = 3x – 6.(a) Determina los puntos de corte de las gráficas de f y g.
(b) Calcula el área del recinto limitado por dichas gráficas.

Solución

a) x3 – 4x = 3x – 6 → x3 – 4x – 3x + 6 = 0 → x3 – 7x + 6 = 0
Por Ruffini hallamos las soluciones:


→
x2 = 1, x3 = – 3
Luego tiene por soluciones x1 = 2, x2 = 1 y x3 = – 3
Sustituyendo el valor de x en una de las funciones hallamos los puntos de corte:(2, 0), (1, –3) y (–3, –15)
b)

Para calcular el área sumamos las áreas que resultan de hallar las integrales definidas siguientes:



Luego el área total será A = unidades cuadradas




6. Calcula (ln denota la función logaritmo neperiano).
Solución
Realizamos la integral por partes:



Realizamos la segunda integral :
haciendo la división… , por loque podemos rescribir la integral como:


La integral definida será:
I =













7. La recta tangente a la gráfica de la función f: R → R, definida por f(x) = mx2 + nx – 3, en el punto (1, -6), es paralela a la recta de ecuación y = -x.
(a) Determina las constantes m y n. Halla la ecuación de dicha recta tangente.
(b) Calcula el área del recinto limitado por la...