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UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA
FACULTAD DE CIENCIAS
´
ESCUELA DE MATEMATICA

SERIES DE FOURIER

Ram´on Bruzual
Marisela Dom´ınguez

Caracas, Venezuela
Marzo 2003

Ram´on Bruzual
Correo-E: rbruzual@euler.ciens.ucv.ve

Marisela Dom´ınguez
Correo-E: mdomin@euler.ciens.ucv.ve

Laboratorio de Formas en Grupos
Centro de An´alisis
Escuela de Matem´atica
Facultad de CienciasUniversidad Central de Venezuela
http://euler.ciens.ucv.ve/~labfg

Pr´ologo

Estas notas fueron escritas especialmente para los Talleres de Formaci´on Matem´atica
(TForMa), auspiciadas por la Asociaci´on Matem´atica Venezolana. Han sido concebidas
como material de estudio para un primer curso de an´alisis de Fourier.
Se estudian los siguientes temas: Funciones peri´odicas y series deFourier. Condiciones
para la convergencia puntual y en media aritm´etica de una serie de Fourier. Convergencia
en media cuadr´atica de la serie de Fourier. Desigualdad de Bessel, identidad de Parseval
y aplicaciones. Comportamiento de las series de Fourier. Desarrollo en serie de senos y en
serie de cosenos. Aplicaci´on a la resoluci´on de ecuaciones en derivadas parciales.
Los objetivosfundamentales del curso son motivar a los participantes hacia el estudio del
an´alisis arm´onico y conseguir que apliquen en forma rigurosa los t´opicos que ya han estudiado,
tanto para comprender resultados cl´asicos, como para resolver problemas sencillos.
La noci´on de integral que usamos es la de Riemann, para un curso de mayor profundidad
ser´ıa necesaria la integral de Lebesgue.
El requisitofundamental para la lectura de estas notas es un curso avanzado de c´alculo
diferencial e integral en una variable. M´as en detalle: los participantes deben dominar
las nociones b´asicas de los siguientes temas: c´alculo diferencial en una variable, integral
de Riemann unidimensional, convergencia uniforme de sucesiones y series de funciones. Es
recomendable que el participante posea un m´ınimo deconocimientos de ´algebra lineal y
rudimentos de c´alculo en varias variables.

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iv

Finalmente, agradecemos a los organizadores del TForMa la oportunidad de participaci´on
que nos han brindado.

Ram´on Bruzual.
Marisela Dom´ınguez.
Marzo 2003.

Contenido
Cap´ıtulo 1. Funciones peri´odicas y series de Fourier

1

1. Funciones trigonom´etricas

1

2. Polinomiostrigonom´etricos

3

3. Per´ıodo de una funci´on

5

4. Coeficientes de Fourier

6

5. Lema de Riemann-Lebesgue

12

6. Ejercicios adicionales

16

Cap´ıtulo 2. Condiciones para la convergencia puntual y en media aritm´etica de una
serie de Fourier

17

1. Condici´on suficiente para la convergencia puntual

17

2. Convergencia de las medias aritm´eticas

20

3. Ejerciciosadicionales

24

Cap´ıtulo 3. Convergencia en media cuadr´atica de la serie de Fourier

27

1. Media cuadr´atica

27

2. Aproximaci´on en media cuadr´atica

28

3. Desigualdad de Bessel e Identidad de Parseval

29

4. Aplicaci´on a sumaci´on de series num´ericas

31

5. Ejercicios adicionales

32

Cap´ıtulo 4. Comportamiento de las series de Fourier

33

1. Fen´omenode Gibbs

33

2. Integraci´on y derivaci´on de series de Fourier

36

3. Orden de magnitud de los coeficientes de Fourier

40

4. Ejercicios adicionales

41

Cap´ıtulo 5. Casos m´as generales

43
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vi

CONTENIDO

1. Notaci´on compleja

43

2. Funciones de per´ıodo arbitrario

44

3. Desarrollo en serie de cosenos y en serie de senos

45

4. Ejerciciosadicionales

47

Cap´ıtulo 6. Aplicaci´on a la resoluci´on de ecuaciones en derivadas parciales

49

1. Introducci´on

49

2. Ecuaci´on de la cuerda vibrante

50

3. Ecuaci´on del calor

55

Bibliograf´ıa

59

´Indice

61

CAP´ıTULO 1

Funciones peri´
odicas y series de Fourier
1. Funciones trigonom´
etricas
Se supone que el lector est´a familiarizado con las...