Mate

Teoría elemental de números
Tema 1 : NUMEROS ENTEROS
La Teoría de Números es la parte de la Matemática que trata de los números enteros y sus propiedades. Estudia la divisibilidad y la congruencia de números enteros, los números primos y su distribución, las operaciones algebraicas entre ellos y las soluciones enteras de ecuaciones diofánticas. Se designará a los conjuntos denúmeros naturales y enteros por N y Z respectivamente.
N = {1, 2, 3, 4, 5, ...}
Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}
El número 0 no es un número natural. El conjunto de los números enteros no negativos se designa por N U {0}. Uno de los principios más importantes en la Teoría de Números es:
Principio de la buena ordenación: todo subconjunto no vacío de números enteros no negativos tieneun primer elemento, es decir, tiene un elemento que es menor que todos los demás.
Operaciones con números enteros
Sean a y b dos números enteros. A partir de las operaciones suma (a + b) y producto (a . b), es fácil definir las siguientes operaciones:
Diferencia (d = a - b): otro entero que satisfaga la igualdad a = b + d.
Divide a (a | b): si a # 0 y b = a . q, diremos que a divide a b, a esun divisor de b, a es un factor de b, o que b es un múltiplo de a.
Mayor que (b > a): si existe un número natural n tal que b = a + n.
Propiedades de los números enteros
Sean a, b, c, x e y números enteros:
a . 0 = 0
a . (-b) = -a . b
Si a # 0 y a . b = a . c, entonces b = c
Si a # 0 y a | b, entonces a | b . x
Sean a # 0 y b # 0, si a | b y b | c, entonces a | c
Sea a # 0, si a | b ya | c, entonces a | (b . x + c . y)
Sean a y b positivos, si a | b, entonces a <= b
Sean a # 0 y b # 0, si a | b y b | a, entonces a = b o a = -b
Valor absoluto
Llamaremos valor absoluto a la aplicación | | : Z -> Z, tal que todo número entero tiene imagen mediante | | y esta imagen es única. Queda definida por:
Si n >= 0, entonces |n| = n
Si n < 0, entonces |n| = -n
Propiedadesdel valor absoluto
|n| pertenece a N U {0}
|n| = 0 si y sólo si n = 0
|a . b| = |a| . |b|
|a + b| <= |a| + |b|
Si a # 0, b # 0 y a | b, entonces |a| <= |b|
Algoritmo de la División
Sean a entero y b natural. Entonces existen números enteros q y r tales que:
a = b . q + r
con 0 <= r < |b|. Además q y r son únicos. A los números a, b, q y r se les llama respectivamentedividendo, divisor, cociente y resto.
Módulo
Sean a y b números enteros con b # 0. Sea a = b . q + r donde 0 <= r < |b|. Definimos el operador módulo MOD por:
a MOD b = r
Propiedades del operador MOD
Sean a, b, c, d y m números enteros con m # 0. Si a MOD m = c MOD m y b MOD m = d MOD m, entonces:
(a + b) MOD m = (c + d) MOD m
(a . b) MOD m = (c . d) MOD m
Máximo común divisor
Sean a y benteros. Un entero d # 0 es un divisor común de a y b si d | a y d | b. Un divisor común de a y b se llama máximo común divisor de a y b si d > 0 y cada común divisor de a y b divide también a d. Se designa por:
m.c.d.(a, b) = d
Algoritmo de Euclides
El Algoritmo de Euclides se basa en sucesivas divisiones de dos números hasta obtener su máximo común divisor. Es decir, si m.c.d.(a, b) = d y a= b . q + r, entonces tendremos:
d = rn-1 = m.c.d.(rn-2, rn-1) = m.c.d.(rn-3, rn-2) = ... = m.c.d.(b, r1) = m.c.d.(a, b)
Si hacemos la divisiones sucesivas partiendo del Algoritmo de la División original:
a = b . q1 + r1
b = r1 . q2 + r2
r1 = r2 . q3 + r3
...
rn-4 = rn-3 . qn-2 + rn-2
rn-3 = rn-2 . qn-1 + rn-1
rn-2 = rn-1 . qn + 0
[ Cálculo del máximo común divisor de dos númerosmediante el Algoritmo de Euclides ]
Tema 2 : NUMEROS PRIMOS
Dado un número entero p > 1, diremos que p es un número primo si 1 y p son los únicos divisores positivos de p. Un entero a > 1 que no es primo le denominaremos número compuesto. Dos números, a y b, son primos entre sí, si se tiene que m.c.d.(a, b) = 1.
Lema de Euclides
Sean a, b y c números enteros. Supongamos que a y c son primos...