matemática real

Univ. de Alcal´ de Henares
a
C´lculo. Segundo parcial.
a

Ingenier´ de Telecomunicaci´n
ıa
o
Curso 2004-2005

Teoremas de la funci´n impl´
o
ıcita y de la funci´n inversa
o
1.
1.1.

El teorema de la funci´n impl´
o
ıcita
Ejemplos preliminares

El teorema de la funci´n impl´
o
ıcita aborda la cuesti´n general de la dependencia entre variables
o
ligadas por una ecuaci´n,que ahora vamos a describir informalmente en el caso de dos variables:
o
supongamos que tenemos una relaci´n entre las variables x e y, que podemos escribir en la forma
o
de una ecuaci´n:
o
F (x, y) = 0
donde F : R2 → R es una funci´n escalar. Entonces, fijado un valor x0 , al sustituirlo en esa
o
o
relaci´n obtenemos una ecuaci´n para y. Resolviendo esta ecuaci´n cuando esto sea posible,o
o
obtenemos un valor (o quiz´ varios valores) y0 , que dependen del valor x0 que hemos fijado
a
arbitrariamente al principio. De esa forma se establece una dependencia en la que, a cada valor
x0 , le corresponde un valor y0 : la variable y depende de x. Por tanto podemos pensar que la
ecuaci´n determina una funci´n y(x), que se obtiene “despejando y” como funci´n de x:
o
o
o
F (x, y) =0 → y = f (x)
Ejemplo 1. La ecuaci´n 3x − 2y = 4 se puede escribir en la forma F (x, y) = 0, usando una
o
funci´n :
o
F (x, y) = 3x − 2y − 4
En cualquier caso esta ecuaci´n permite despejar:
o
y(x) =

3x − 4
2

En este caso es muy f´cil obtener la relaci´n entre x e y. Supongamos ahora que nos dan la
a
o
ecuaci´n:
o
ex + x = sen(y − 3) + 2y − 6
De nuevo esta ecuaci´n es de laforma F (x, y) = 0 para
o
F (x, y) = ex + x − sen(y − 3) − 2y + 6
Como muestran ambos ejemplos, la forma F (x, y) = 0 es completamente general, y no limita el
tipo de ecuaciones que podemos considerar.
Seguramente, en el segundo ejemplo el lector no est´ ya tan dispuesto a intentar despejar y
a
como funci´n de x. Es m´s, puede que incluso se plantee la duda de si existe la soluci´n y sea
oa
o
cual sea el valor de x. Podemos despejar esa duda con esta figura

1

en la que hemos representado las curvas z = ex + x y z = sen(y − 3) + 2y − 6. Como puede verse,
la correspondencia z → x es biyectiva, y lo mismo sucede con la correspondencia y → z. Por lo
tanto, para cada x hay un valor de y y s´lo uno: queda definida una funci´n y(x). ¿Es creciente
o
o
esta funci´n? ¿Esderivable? ¿Cu´les son sus m´ximos y m´
o
a
a
ınimos? Ese es el tipo de preguntas
que pretendemos aprender a resolver.
Como muestra el ejemplo, las funciones y(x) que estamos buscando no vienen dadas por una
f´rmula expl´
o
ıcita que nos indique directamente las operaciones que debemos realizar con x para
obtener el valor de y. Por eso empleamos el nombre “funci´n impl´
o
ıcita” parareferirnos a una de
estas funciones. Antes de dar la definici´n, profundicemos un poco en el ejemplo anterior.
o
Ejemplo 2. (continuaci´n del anterior) Sea y(x) la funci´n impl´
o
o
ıcita definida por la ecuaci´n
o
ex + x − sen(y − 3) − 2y + 6 = 0
del ejemplo anterior. Entonces, naturalmente, sea cual sea x, debe cumplirse:
ex + x − sen(y(x) − 3) − 2y(x) + 6 = 0
Si usamos la funci´n
o
F (x, y)= ex + x − sen(y − 3) − 2y + 6
Entonces esto se traduce en que ha de ser:
F (x, y(x)) = 0
Obs´rvese que F : R2 → R es una funci´n de clase C ∞ . Pues bien, no sabemos todav´ nada
e
o
ıa
sobre la funci´n y(x). Pero supongamos que y(x) resulta ser una funci´n derivable. Entonces,
o
o
si consideramos la funci´n compuesta h(x) = F (x, y(x)), ser´ una funci´n derivable (regla de
o
ıa
o
lacadena). Por otro lado, la expresi´n anterior asegura que esta funci´n h(x) es la funci´n
o
o
o
constante 0. Su derivada por lo tanto es cero; y seg´n la regla de la cadena obtenemos:
u
0=

dh
∂F
∂F dy
=
+
dx
∂x
∂y dx
2

El descubrimiento que hemos hecho es que podemos despejar:
∂F
dy
ex + 1
= − ∂x = −
∂F
dx
cos(y − 3) − 2
∂y
∂F
= cos(y − 3) − 2 = 0 (lo cual sucede...